Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62509 / 78927
↖ ↑ ↗
← S 34.486184°
W  8.313904°		 ← 251.75 m → S 34.486184°
W  8.311157°		 →
↑
251.72 m
↓
↑
251.72 m
↓
S 34.488448°
W  8.313904°		 ← 251.74 m →
63 369 m²		 S 34.488448°
W  8.311157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476909637451172 y=0.602169036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476909637451172 × 217)
    floor (0.476909637451172 × 131072)
    floor (62509.5)     		tx = 62509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602169036865234 × 217)
    floor (0.602169036865234 × 131072)
    floor (78927.5)     		ty = 78927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62509 / 78927 ti = "17/62509/78927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62509/78927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62509 ÷ 217
    62509 ÷ 131072     		x = 0.476905822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78927 ÷ 217
    78927 ÷ 131072     		y = 0.602165222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476905822753906 × 2 - 1) × π
    -0.0461883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14510500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602165222167969 × 2 - 1) × π
    -0.204330444335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.641923022812172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14510500} λ = -0.14510500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641923022812172))-π/2
    2×atan(0.526279403026371)-π/2
    2×0.484449435101086-π/2
    0.968898870202172-1.57079632675     		φ = -0.60189746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14510500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.313904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60189746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.486184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62509 KachelY 78927 -0.14510500 -0.60189746 -8.313904 -34.486184
    Oben rechts KachelX + 1 62510 KachelY 78927 -0.14505706 -0.60189746 -8.311157 -34.486184
    Unten links KachelX 62509 KachelY + 1 78928 -0.14510500 -0.60193697 -8.313904 -34.488448
    Unten rechts KachelX + 1 62510 KachelY + 1 78928 -0.14505706 -0.60193697 -8.311157 -34.488448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60189746--0.60193697) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dl = 251.71821000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60189746--0.60193697) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dr = 251.71821000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14510500--0.14505706) × cos(-0.60189746) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824262743295073 × 6371000     		do = 251.751058325454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14510500--0.14505706) × cos(-0.60193697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824240371793507 × 6371000     		du = 251.744225493033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60189746)-sin(-0.60193697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824262743295073-0.824240371793507)×R²
    abs(-0.14505706--0.14510500)×2.23715015666981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23715015666981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23715015666981e-05×40589641000000     		ar = 63369.4658015383m²