Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62508 / 39740
↖ ↑ ↗
← N 57.615992°
W  8.316650°		 ← 163.55 m → N 57.615992°
W  8.313904°		 →
↑
163.61 m
↓
↑
163.61 m
↓
N 57.614521°
W  8.316650°		 ← 163.56 m →
26 758 m²		 N 57.614521°
W  8.313904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476902008056641 y=0.303195953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476902008056641 × 217)
    floor (0.476902008056641 × 131072)
    floor (62508.5)     		tx = 62508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303195953369141 × 217)
    floor (0.303195953369141 × 131072)
    floor (39740.5)     		ty = 39740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62508 / 39740 ti = "17/62508/39740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62508/39740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62508 ÷ 217
    62508 ÷ 131072     		x = 0.476898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39740 ÷ 217
    39740 ÷ 131072     		y = 0.303192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.04620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14515293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303192138671875 × 2 - 1) × π
    0.39361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23658026259897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14515293} λ = -0.14515293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23658026259897))-π/2
    2×atan(3.44381635715565)-π/2
    2×1.28819254166925-π/2
    2.57638508333851-1.57079632675     		φ = 1.00558876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14515293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00558876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.615992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62508 KachelY 39740 -0.14515293 1.00558876 -8.316650 57.615992
    Oben rechts KachelX + 1 62509 KachelY 39740 -0.14510500 1.00558876 -8.313904 57.615992
    Unten links KachelX 62508 KachelY + 1 39741 -0.14515293 1.00556308 -8.316650 57.614521
    Unten rechts KachelX + 1 62509 KachelY + 1 39741 -0.14510500 1.00556308 -8.313904 57.614521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00558876-1.00556308) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dl = 163.607280000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00558876-1.00556308) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dr = 163.607280000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14515293--0.14510500) × cos(1.00558876) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.5355911130248 × 6371000     		do = 163.549189523218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14515293--0.14510500) × cos(1.00556308) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.535612799029053 × 6371000     		du = 163.555811605499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00558876)-sin(1.00556308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5355911130248-0.535612799029053)×R²
    abs(-0.14510500--0.14515293)×2.16860042531186e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16860042531186e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16860042531186e-05×40589641000000     		ar = 26758.3797558896m²