Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62507 / 40079
↖ ↑ ↗
← N 57.113876°
W  8.319397°		 ← 165.84 m → N 57.113876°
W  8.316650°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.112385°
W  8.319397°		 ← 165.84 m →
27 503 m²		 N 57.112385°
W  8.316650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476894378662109 y=0.305782318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476894378662109 × 217)
    floor (0.476894378662109 × 131072)
    floor (62507.5)     		tx = 62507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305782318115234 × 217)
    floor (0.305782318115234 × 131072)
    floor (40079.5)     		ty = 40079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62507 / 40079 ti = "17/62507/40079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62507/40079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62507 ÷ 217
    62507 ÷ 131072     		x = 0.476890563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40079 ÷ 217
    40079 ÷ 131072     		y = 0.305778503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476890563964844 × 2 - 1) × π
    -0.0462188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14520087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305778503417969 × 2 - 1) × π
    0.388442993164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.22032965362777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14520087} λ = -0.14520087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22032965362777))-π/2
    2×atan(3.38830451641129)-π/2
    2×1.28381075885275-π/2
    2.56762151770549-1.57079632675     		φ = 0.99682519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14520087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.319397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99682519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.113876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62507 KachelY 40079 -0.14520087 0.99682519 -8.319397 57.113876
    Oben rechts KachelX + 1 62508 KachelY 40079 -0.14515293 0.99682519 -8.316650 57.113876
    Unten links KachelX 62507 KachelY + 1 40080 -0.14520087 0.99679916 -8.319397 57.112385
    Unten rechts KachelX + 1 62508 KachelY + 1 40080 -0.14515293 0.99679916 -8.316650 57.112385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99682519-0.99679916) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99682519-0.99679916) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14520087--0.14515293) × cos(0.99682519) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54297108891329 × 6371000     		do = 165.837346629935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14520087--0.14515293) × cos(0.99679916) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542992947458015 × 6371000     		du = 165.844022792133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99682519)-sin(0.99679916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54297108891329-0.542992947458015)×R²
    abs(-0.14515293--0.14520087)×2.18585447250286e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18585447250286e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18585447250286e-05×40589641000000     		ar = 27502.5431912433m²