Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62507 / 25497
↖ ↑ ↗
← N 73.308147°
W  8.319397°		 ← 87.73 m → N 73.308147°
W  8.316650°		 →
↑
87.73 m
↓
↑
87.73 m
↓
N 73.307358°
W  8.319397°		 ← 87.73 m →
7 696 m²		 N 73.307358°
W  8.316650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476894378662109 y=0.194530487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476894378662109 × 217)
    floor (0.476894378662109 × 131072)
    floor (62507.5)     		tx = 62507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194530487060547 × 217)
    floor (0.194530487060547 × 131072)
    floor (25497.5)     		ty = 25497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62507 / 25497 ti = "17/62507/25497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62507/25497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62507 ÷ 217
    62507 ÷ 131072     		x = 0.476890563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25497 ÷ 217
    25497 ÷ 131072     		y = 0.194526672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476890563964844 × 2 - 1) × π
    -0.0462188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14520087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194526672363281 × 2 - 1) × π
    0.610946655273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.91934552388743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14520087} λ = -0.14520087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91934552388743))-π/2
    2×atan(6.81649577543032)-π/2
    2×1.42513243272397-π/2
    2.85026486544794-1.57079632675     		φ = 1.27946854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14520087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.319397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27946854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.308147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62507 KachelY 25497 -0.14520087 1.27946854 -8.319397 73.308147
    Oben rechts KachelX + 1 62508 KachelY 25497 -0.14515293 1.27946854 -8.316650 73.308147
    Unten links KachelX 62507 KachelY + 1 25498 -0.14520087 1.27945477 -8.319397 73.307358
    Unten rechts KachelX + 1 62508 KachelY + 1 25498 -0.14515293 1.27945477 -8.316650 73.307358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27946854-1.27945477) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dl = 87.7286700001532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27946854-1.27945477) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dr = 87.7286700001532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14520087--0.14515293) × cos(1.27946854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287224316225781 × 6371000     		do = 87.7256993292463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14520087--0.14515293) × cos(1.27945477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287237505976842 × 6371000     		du = 87.7297278187247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27946854)-sin(1.27945477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287224316225781-0.287237505976842)×R²
    abs(-0.14515293--0.14520087)×1.31897510616819e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31897510616819e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31897510616819e-05×40589641000000     		ar = 7696.23563407096m²