Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62506 / 25467
↖ ↑ ↗
← N 73.331797°
W  8.322144°		 ← 87.60 m → N 73.331797°
W  8.319397°		 →
↑
87.60 m
↓
↑
87.60 m
↓
N 73.331010°
W  8.322144°		 ← 87.61 m →
7 674 m²		 N 73.331010°
W  8.319397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476886749267578 y=0.194301605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476886749267578 × 217)
    floor (0.476886749267578 × 131072)
    floor (62506.5)     		tx = 62506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194301605224609 × 217)
    floor (0.194301605224609 × 131072)
    floor (25467.5)     		ty = 25467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62506 / 25467 ti = "17/62506/25467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62506/25467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62506 ÷ 217
    62506 ÷ 131072     		x = 0.476882934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25467 ÷ 217
    25467 ÷ 131072     		y = 0.194297790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476882934570312 × 2 - 1) × π
    -0.046234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14524881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194297790527344 × 2 - 1) × π
    0.611404418945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.92078363087603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14524881} λ = -0.14524881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92078363087603))-π/2
    2×atan(6.82630567779661)-π/2
    2×1.42533882018423-π/2
    2.85067764036846-1.57079632675     		φ = 1.27988131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14524881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.322144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27988131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.331797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62506 KachelY 25467 -0.14524881 1.27988131 -8.322144 73.331797
    Oben rechts KachelX + 1 62507 KachelY 25467 -0.14520087 1.27988131 -8.319397 73.331797
    Unten links KachelX 62506 KachelY + 1 25468 -0.14524881 1.27986756 -8.322144 73.331010
    Unten rechts KachelX + 1 62507 KachelY + 1 25468 -0.14520087 1.27986756 -8.319397 73.331010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27988131-1.27986756) × R
    1.37499999999235e-05 × 6371000     		dl = 87.6012499995129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27988131-1.27986756) × R
    1.37499999999235e-05 × 6371000     		dr = 87.6012499995129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14524881--0.14520087) × cos(1.27988131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286828914514622 × 6371000     		do = 87.6049334690186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14524881--0.14520087) × cos(1.27986756) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286842086737578 × 6371000     		du = 87.6089566049623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27988131)-sin(1.27986756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286828914514622-0.286842086737578)×R²
    abs(-0.14520087--0.14524881)×1.31722229557707e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31722229557707e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31722229557707e-05×40589641000000     		ar = 7674.47789397584m²