Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62505 / 34929
↖ ↑ ↗
← N 64.032541°
W  8.324890°		 ← 133.71 m → N 64.032541°
W  8.322144°		 →
↑
133.73 m
↓
↑
133.73 m
↓
N 64.031338°
W  8.324890°		 ← 133.71 m →
17 881 m²		 N 64.031338°
W  8.322144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476879119873047 y=0.266490936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476879119873047 × 217)
    floor (0.476879119873047 × 131072)
    floor (62505.5)     		tx = 62505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266490936279297 × 217)
    floor (0.266490936279297 × 131072)
    floor (34929.5)     		ty = 34929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62505 / 34929 ti = "17/62505/34929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62505/34929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62505 ÷ 217
    62505 ÷ 131072     		x = 0.476875305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34929 ÷ 217
    34929 ÷ 131072     		y = 0.266487121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476875305175781 × 2 - 1) × π
    -0.0462493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14529674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266487121582031 × 2 - 1) × π
    0.467025756835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.46720468667106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14529674} λ = -0.14529674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46720468667106))-π/2
    2×atan(4.33709464225656)-π/2
    2×1.34418750068137-π/2
    2.68837500136274-1.57079632675     		φ = 1.11757867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14529674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.324890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11757867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.032541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62505 KachelY 34929 -0.14529674 1.11757867 -8.324890 64.032541
    Oben rechts KachelX + 1 62506 KachelY 34929 -0.14524881 1.11757867 -8.322144 64.032541
    Unten links KachelX 62505 KachelY + 1 34930 -0.14529674 1.11755768 -8.324890 64.031338
    Unten rechts KachelX + 1 62506 KachelY + 1 34930 -0.14524881 1.11755768 -8.322144 64.031338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11757867-1.11755768) × R
    2.09900000001095e-05 × 6371000     		dl = 133.727290000698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11757867-1.11755768) × R
    2.09900000001095e-05 × 6371000     		dr = 133.727290000698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14529674--0.14524881) × cos(1.11757867) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.437860607183362 × 6371000     		do = 133.706003866548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14529674--0.14524881) × cos(1.11755768) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.437879477996823 × 6371000     		du = 133.711766296454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11757867)-sin(1.11755768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437860607183362-0.437879477996823)×R²
    abs(-0.14524881--0.14529674)×1.88708134604698e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88708134604698e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88708134604698e-05×40589641000000     		ar = 17880.5268515411m²