Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62504 / 39720
↖ ↑ ↗
← N 57.645401°
W  8.327637°		 ← 163.45 m → N 57.645401°
W  8.324890°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 57.643931°
W  8.327637°		 ← 163.46 m →
26 711 m²		 N 57.643931°
W  8.324890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476871490478516 y=0.303043365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476871490478516 × 217)
    floor (0.476871490478516 × 131072)
    floor (62504.5)     		tx = 62504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303043365478516 × 217)
    floor (0.303043365478516 × 131072)
    floor (39720.5)     		ty = 39720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62504 / 39720 ti = "17/62504/39720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62504/39720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62504 ÷ 217
    62504 ÷ 131072     		x = 0.47686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39720 ÷ 217
    39720 ÷ 131072     		y = 0.30303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.0462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14534468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30303955078125 × 2 - 1) × π
    0.3939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23753900059137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14534468} λ = -0.14534468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23753900059137))-π/2
    2×atan(3.44711965798308)-π/2
    2×1.28844918352677-π/2
    2.57689836705355-1.57079632675     		φ = 1.00610204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14534468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00610204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.645401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62504 KachelY 39720 -0.14534468 1.00610204 -8.327637 57.645401
    Oben rechts KachelX + 1 62505 KachelY 39720 -0.14529674 1.00610204 -8.324890 57.645401
    Unten links KachelX 62504 KachelY + 1 39721 -0.14534468 1.00607639 -8.327637 57.643931
    Unten rechts KachelX + 1 62505 KachelY + 1 39721 -0.14529674 1.00607639 -8.324890 57.643931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00610204-1.00607639) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00610204-1.00607639) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14534468--0.14529674) × cos(1.00610204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535157589107044 × 6371000     		do = 163.450902669622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14534468--0.14529674) × cos(1.00607639) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535179256826071 × 6371000     		du = 163.45752054874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00610204)-sin(1.00607639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535157589107044-0.535179256826071)×R²
    abs(-0.14529674--0.14534468)×2.16677190264525e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16677190264525e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16677190264525e-05×40589641000000     		ar = 26711.0579639784m²