Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62504 / 39304
↖ ↑ ↗
← N 58.251727°
W  8.327637°		 ← 160.71 m → N 58.251727°
W  8.324890°		 →
↑
160.68 m
↓
↑
160.68 m
↓
N 58.250282°
W  8.327637°		 ← 160.72 m →
25 823 m²		 N 58.250282°
W  8.324890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476871490478516 y=0.299869537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476871490478516 × 217)
    floor (0.476871490478516 × 131072)
    floor (62504.5)     		tx = 62504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299869537353516 × 217)
    floor (0.299869537353516 × 131072)
    floor (39304.5)     		ty = 39304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62504 / 39304 ti = "17/62504/39304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62504/39304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62504 ÷ 217
    62504 ÷ 131072     		x = 0.47686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39304 ÷ 217
    39304 ÷ 131072     		y = 0.29986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.0462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14534468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29986572265625 × 2 - 1) × π
    0.4002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25748075083331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14534468} λ = -0.14534468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25748075083331))-π/2
    2×atan(3.51655125008139)-π/2
    2×1.29374038054785-π/2
    2.5874807610957-1.57079632675     		φ = 1.01668443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14534468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01668443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.251727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62504 KachelY 39304 -0.14534468 1.01668443 -8.327637 58.251727
    Oben rechts KachelX + 1 62505 KachelY 39304 -0.14529674 1.01668443 -8.324890 58.251727
    Unten links KachelX 62504 KachelY + 1 39305 -0.14534468 1.01665921 -8.327637 58.250282
    Unten rechts KachelX + 1 62505 KachelY + 1 39305 -0.14529674 1.01665921 -8.324890 58.250282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01668443-1.01665921) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dl = 160.676619999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01668443-1.01665921) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dr = 160.676619999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14534468--0.14529674) × cos(1.01668443) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52618829319023 × 6371000     		do = 160.711448826951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14534468--0.14529674) × cos(1.01665921) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526209739305993 × 6371000     		du = 160.717999022728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01668443)-sin(1.01665921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52618829319023-0.526209739305993)×R²
    abs(-0.14529674--0.14534468)×2.14461157626022e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14461157626022e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14461157626022e-05×40589641000000     		ar = 25823.0986257671m²