Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62503 / 25463
↖ ↑ ↗
← N 73.334949°
W  8.330383°		 ← 87.59 m → N 73.334949°
W  8.327637°		 →
↑
87.60 m
↓
↑
87.60 m
↓
N 73.334161°
W  8.330383°		 ← 87.59 m →
7 673 m²		 N 73.334161°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476863861083984 y=0.194271087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476863861083984 × 217)
    floor (0.476863861083984 × 131072)
    floor (62503.5)     		tx = 62503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194271087646484 × 217)
    floor (0.194271087646484 × 131072)
    floor (25463.5)     		ty = 25463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62503 / 25463 ti = "17/62503/25463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62503/25463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62503 ÷ 217
    62503 ÷ 131072     		x = 0.476860046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25463 ÷ 217
    25463 ÷ 131072     		y = 0.194267272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476860046386719 × 2 - 1) × π
    -0.0462799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14539262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194267272949219 × 2 - 1) × π
    0.611465454101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.92097537847451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14539262} λ = -0.14539262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92097537847451))-π/2
    2×atan(6.82761473101672)-π/2
    2×1.42536631703612-π/2
    2.85073263407224-1.57079632675     		φ = 1.27993631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14539262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.330383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27993631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.334949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62503 KachelY 25463 -0.14539262 1.27993631 -8.330383 73.334949
    Oben rechts KachelX + 1 62504 KachelY 25463 -0.14534468 1.27993631 -8.327637 73.334949
    Unten links KachelX 62503 KachelY + 1 25464 -0.14539262 1.27992256 -8.330383 73.334161
    Unten rechts KachelX + 1 62504 KachelY + 1 25464 -0.14534468 1.27992256 -8.327637 73.334161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27993631-1.27992256) × R
    1.37500000001456e-05 × 6371000     		dl = 87.6012500009275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27993631-1.27992256) × R
    1.37500000001456e-05 × 6371000     		dr = 87.6012500009275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14539262--0.14534468) × cos(1.27993631) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286776225080538 × 6371000     		do = 87.5888407596231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14539262--0.14534468) × cos(1.27992256) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286789397520393 × 6371000     		du = 87.5928639618136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27993631)-sin(1.27992256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286776225080538-0.286789397520393)×R²
    abs(-0.14534468--0.14539262)×1.31724398554356e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31724398554356e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31724398554356e-05×40589641000000     		ar = 7673.06815558071m²