Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62502 / 31062
↖ ↑ ↗
← N 68.312057°
W  8.333130°		 ← 112.85 m → N 68.312057°
W  8.330383°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 68.311042°
W  8.333130°		 ← 112.85 m →
12 740 m²		 N 68.311042°
W  8.330383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476856231689453 y=0.236988067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476856231689453 × 217)
    floor (0.476856231689453 × 131072)
    floor (62502.5)     		tx = 62502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236988067626953 × 217)
    floor (0.236988067626953 × 131072)
    floor (31062.5)     		ty = 31062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62502 / 31062 ti = "17/62502/31062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62502/31062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62502 ÷ 217
    62502 ÷ 131072     		x = 0.476852416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31062 ÷ 217
    31062 ÷ 131072     		y = 0.236984252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476852416992188 × 2 - 1) × π
    -0.046295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14544055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236984252929688 × 2 - 1) × π
    0.526031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65257667750182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14544055} λ = -0.14544055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65257667750182))-π/2
    2×atan(5.22041383507324)-π/2
    2×1.38153331853557-π/2
    2.76306663707113-1.57079632675     		φ = 1.19227031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14544055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.333130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19227031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.312057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62502 KachelY 31062 -0.14544055 1.19227031 -8.333130 68.312057
    Oben rechts KachelX + 1 62503 KachelY 31062 -0.14539262 1.19227031 -8.330383 68.312057
    Unten links KachelX 62502 KachelY + 1 31063 -0.14544055 1.19225259 -8.333130 68.311042
    Unten rechts KachelX + 1 62503 KachelY + 1 31063 -0.14539262 1.19225259 -8.330383 68.311042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19227031-1.19225259) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19227031-1.19225259) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14544055--0.14539262) × cos(1.19227031) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.369551230896885 × 6371000     		do = 112.846914055675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14544055--0.14539262) × cos(1.19225259) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.369567696446393 × 6371000     		du = 112.851942009298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19227031)-sin(1.19225259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369551230896885-0.369567696446393)×R²
    abs(-0.14539262--0.14544055)×1.64655495077382e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.64655495077382e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.64655495077382e-05×40589641000000     		ar = 12740.0368705403m²