Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62500 / 79019
↖ ↑ ↗
← S 34.694203°
W  8.338623°		 ← 251.12 m → S 34.694203°
W  8.335876°		 →
↑
251.14 m
↓
↑
251.14 m
↓
S 34.696461°
W  8.338623°		 ← 251.11 m →
63 067 m²		 S 34.696461°
W  8.335876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476840972900391 y=0.602870941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476840972900391 × 217)
    floor (0.476840972900391 × 131072)
    floor (62500.5)     		tx = 62500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602870941162109 × 217)
    floor (0.602870941162109 × 131072)
    floor (79019.5)     		ty = 79019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62500 / 79019 ti = "17/62500/79019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62500/79019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62500 ÷ 217
    62500 ÷ 131072     		x = 0.476837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79019 ÷ 217
    79019 ÷ 131072     		y = 0.602867126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.04632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14553643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602867126464844 × 2 - 1) × π
    -0.205734252929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.646333217577217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14553643} λ = -0.14553643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646333217577217))-π/2
    2×atan(0.523963518861928)-π/2
    2×0.482634126907609-π/2
    0.965268253815219-1.57079632675     		φ = -0.60552807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14553643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60552807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.694203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62500 KachelY 79019 -0.14553643 -0.60552807 -8.338623 -34.694203
    Oben rechts KachelX + 1 62501 KachelY 79019 -0.14548849 -0.60552807 -8.335876 -34.694203
    Unten links KachelX 62500 KachelY + 1 79020 -0.14553643 -0.60556749 -8.338623 -34.696461
    Unten rechts KachelX + 1 62501 KachelY + 1 79020 -0.14548849 -0.60556749 -8.335876 -34.696461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60552807--0.60556749) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dl = 251.144820000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60552807--0.60556749) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dr = 251.144820000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14553643--0.14548849) × cos(-0.60552807) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822201636776118 × 6371000     		do = 251.121543341538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14553643--0.14548849) × cos(-0.60556749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822179198417749 × 6371000     		du = 251.114690089328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60552807)-sin(-0.60556749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822201636776118-0.822179198417749)×R²
    abs(-0.14548849--0.14553643)×2.24383583689036e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24383583689036e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24383583689036e-05×40589641000000     		ar = 63067.0142292895m²