Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62500 / 39324
↖ ↑ ↗
← N 58.222811°
W  8.338623°		 ← 160.84 m → N 58.222811°
W  8.335876°		 →
↑
160.80 m
↓
↑
160.80 m
↓
N 58.221365°
W  8.338623°		 ← 160.85 m →
25 865 m²		 N 58.221365°
W  8.335876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476840972900391 y=0.300022125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476840972900391 × 217)
    floor (0.476840972900391 × 131072)
    floor (62500.5)     		tx = 62500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300022125244141 × 217)
    floor (0.300022125244141 × 131072)
    floor (39324.5)     		ty = 39324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62500 / 39324 ti = "17/62500/39324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62500/39324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62500 ÷ 217
    62500 ÷ 131072     		x = 0.476837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39324 ÷ 217
    39324 ÷ 131072     		y = 0.300018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.04632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14553643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300018310546875 × 2 - 1) × π
    0.39996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25652201284091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14553643} λ = -0.14553643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25652201284091))-π/2
    2×atan(3.51318141444856)-π/2
    2×1.29348803935598-π/2
    2.58697607871196-1.57079632675     		φ = 1.01617975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14553643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01617975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.222811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62500 KachelY 39324 -0.14553643 1.01617975 -8.338623 58.222811
    Oben rechts KachelX + 1 62501 KachelY 39324 -0.14548849 1.01617975 -8.335876 58.222811
    Unten links KachelX 62500 KachelY + 1 39325 -0.14553643 1.01615451 -8.338623 58.221365
    Unten rechts KachelX + 1 62501 KachelY + 1 39325 -0.14548849 1.01615451 -8.335876 58.221365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01617975-1.01615451) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dl = 160.804040000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01617975-1.01615451) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dr = 160.804040000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14553643--0.14548849) × cos(1.01617975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526617389926608 × 6371000     		do = 160.842506015191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14553643--0.14548849) × cos(1.01615451) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526638846343946 × 6371000     		du = 160.849059357334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01617975)-sin(1.01615451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526617389926608-0.526638846343946)×R²
    abs(-0.14548849--0.14553643)×2.14564173377507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14564173377507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14564173377507e-05×40589641000000     		ar = 25864.6516741639m²