Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62499 / 79017
↖ ↑ ↗
← S 34.689686°
W  8.341369°		 ← 251.08 m → S 34.689686°
W  8.338623°		 →
↑
251.14 m
↓
↑
251.14 m
↓
S 34.691945°
W  8.341369°		 ← 251.08 m →
63 057 m²		 S 34.691945°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476833343505859 y=0.602855682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476833343505859 × 217)
    floor (0.476833343505859 × 131072)
    floor (62499.5)     		tx = 62499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602855682373047 × 217)
    floor (0.602855682373047 × 131072)
    floor (79017.5)     		ty = 79017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62499 / 79017 ti = "17/62499/79017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62499/79017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62499 ÷ 217
    62499 ÷ 131072     		x = 0.476829528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79017 ÷ 217
    79017 ÷ 131072     		y = 0.602851867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476829528808594 × 2 - 1) × π
    -0.0463409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14558436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602851867675781 × 2 - 1) × π
    -0.205703735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.646237343777977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14558436} λ = -0.14558436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646237343777977))-π/2
    2×atan(0.524013755643302)-π/2
    2×0.482673541780262-π/2
    0.965347083560524-1.57079632675     		φ = -0.60544924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14558436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.341369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60544924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.689686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62499 KachelY 79017 -0.14558436 -0.60544924 -8.341369 -34.689686
    Oben rechts KachelX + 1 62500 KachelY 79017 -0.14553643 -0.60544924 -8.338623 -34.689686
    Unten links KachelX 62499 KachelY + 1 79018 -0.14558436 -0.60548866 -8.341369 -34.691945
    Unten rechts KachelX + 1 62500 KachelY + 1 79018 -0.14553643 -0.60548866 -8.338623 -34.691945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60544924--0.60548866) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dl = 251.144820000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60544924--0.60548866) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dr = 251.144820000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14558436--0.14553643) × cos(-0.60544924) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822246503968558 × 6371000     		do = 251.08286161225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14558436--0.14553643) × cos(-0.60548866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822224068165198 × 6371000     		du = 251.076010569792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60544924)-sin(-0.60548866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822246503968558-0.822224068165198)×R²
    abs(-0.14553643--0.14558436)×2.24358033600325e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24358033600325e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24358033600325e-05×40589641000000     		ar = 63057.2997910056m²