Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62499 / 39322
↖ ↑ ↗
← N 58.225704°
W  8.341369°		 ← 160.80 m → N 58.225704°
W  8.338623°		 →
↑
160.80 m
↓
↑
160.80 m
↓
N 58.224258°
W  8.341369°		 ← 160.80 m →
25 857 m²		 N 58.224258°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476833343505859 y=0.300006866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476833343505859 × 217)
    floor (0.476833343505859 × 131072)
    floor (62499.5)     		tx = 62499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300006866455078 × 217)
    floor (0.300006866455078 × 131072)
    floor (39322.5)     		ty = 39322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62499 / 39322 ti = "17/62499/39322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62499/39322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62499 ÷ 217
    62499 ÷ 131072     		x = 0.476829528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39322 ÷ 217
    39322 ÷ 131072     		y = 0.300003051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476829528808594 × 2 - 1) × π
    -0.0463409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14558436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300003051757812 × 2 - 1) × π
    0.399993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25661788664015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14558436} λ = -0.14558436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25661788664015))-π/2
    2×atan(3.5135182526449)-π/2
    2×1.29351328273213-π/2
    2.58702656546427-1.57079632675     		φ = 1.01623024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14558436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.341369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01623024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.225704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62499 KachelY 39322 -0.14558436 1.01623024 -8.341369 58.225704
    Oben rechts KachelX + 1 62500 KachelY 39322 -0.14553643 1.01623024 -8.338623 58.225704
    Unten links KachelX 62499 KachelY + 1 39323 -0.14558436 1.01620500 -8.341369 58.224258
    Unten rechts KachelX + 1 62500 KachelY + 1 39323 -0.14553643 1.01620500 -8.338623 58.224258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01623024-1.01620500) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dl = 160.804040000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01623024-1.01620500) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dr = 160.804040000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14558436--0.14553643) × cos(1.01623024) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.5265744675842 × 6371000     		do = 160.795848367686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14558436--0.14553643) × cos(1.01620500) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526595924672628 × 6371000     		du = 160.802400547766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01623024)-sin(1.01620500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5265744675842-0.526595924672628)×R²
    abs(-0.14553643--0.14558436)×2.14570884282672e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14570884282672e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14570884282672e-05×40589641000000     		ar = 25857.1488426027m²