Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62499 / 25505
↖ ↑ ↗
← N 73.301835°
W  8.341369°		 ← 87.74 m → N 73.301835°
W  8.338623°		 →
↑
87.73 m
↓
↑
87.73 m
↓
N 73.301046°
W  8.341369°		 ← 87.74 m →
7 697 m²		 N 73.301046°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476833343505859 y=0.194591522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476833343505859 × 217)
    floor (0.476833343505859 × 131072)
    floor (62499.5)     		tx = 62499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194591522216797 × 217)
    floor (0.194591522216797 × 131072)
    floor (25505.5)     		ty = 25505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62499 / 25505 ti = "17/62499/25505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62499/25505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62499 ÷ 217
    62499 ÷ 131072     		x = 0.476829528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25505 ÷ 217
    25505 ÷ 131072     		y = 0.194587707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476829528808594 × 2 - 1) × π
    -0.0463409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14558436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194587707519531 × 2 - 1) × π
    0.610824584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.91896202869047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14558436} λ = -0.14558436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91896202869047))-π/2
    2×atan(6.8138821832224)-π/2
    2×1.4250773480343-π/2
    2.85015469606859-1.57079632675     		φ = 1.27935837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14558436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.341369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27935837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.301835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62499 KachelY 25505 -0.14558436 1.27935837 -8.341369 73.301835
    Oben rechts KachelX + 1 62500 KachelY 25505 -0.14553643 1.27935837 -8.338623 73.301835
    Unten links KachelX 62499 KachelY + 1 25506 -0.14558436 1.27934460 -8.341369 73.301046
    Unten rechts KachelX + 1 62500 KachelY + 1 25506 -0.14553643 1.27934460 -8.338623 73.301046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27935837-1.27934460) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dl = 87.7286700001532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27935837-1.27934460) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dr = 87.7286700001532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14558436--0.14553643) × cos(1.27935837) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.287329842287461 × 6371000     		do = 87.7396239204818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14558436--0.14553643) × cos(1.27934460) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.287343031602701 × 6371000     		du = 87.743651436558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27935837)-sin(1.27934460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287329842287461-0.287343031602701)×R²
    abs(-0.14553643--0.14558436)×1.31893152406359e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31893152406359e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31893152406359e-05×40589641000000     		ar = 7697.45717724491m²