Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62498 / 79006
↖ ↑ ↗
← S 34.664840°
W  8.344116°		 ← 251.21 m → S 34.664840°
W  8.341369°		 →
↑
251.21 m
↓
↑
251.21 m
↓
S 34.667100°
W  8.344116°		 ← 251.20 m →
63 105 m²		 S 34.667100°
W  8.341369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476825714111328 y=0.602771759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476825714111328 × 217)
    floor (0.476825714111328 × 131072)
    floor (62498.5)     		tx = 62498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602771759033203 × 217)
    floor (0.602771759033203 × 131072)
    floor (79006.5)     		ty = 79006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62498 / 79006 ti = "17/62498/79006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62498/79006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62498 ÷ 217
    62498 ÷ 131072     		x = 0.476821899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79006 ÷ 217
    79006 ÷ 131072     		y = 0.602767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.046356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14563230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602767944335938 × 2 - 1) × π
    -0.205535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.645710037882156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14563230} λ = -0.14563230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645710037882156))-π/2
    2×atan(0.524290144050358)-π/2
    2×0.482890362020607-π/2
    0.965780724041215-1.57079632675     		φ = -0.60501560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14563230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60501560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.664840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62498 KachelY 79006 -0.14563230 -0.60501560 -8.344116 -34.664840
    Oben rechts KachelX + 1 62499 KachelY 79006 -0.14558436 -0.60501560 -8.341369 -34.664840
    Unten links KachelX 62498 KachelY + 1 79007 -0.14563230 -0.60505503 -8.344116 -34.667100
    Unten rechts KachelX + 1 62499 KachelY + 1 79007 -0.14558436 -0.60505503 -8.341369 -34.667100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60501560--0.60505503) × R
    3.94300000000625e-05 × 6371000     		dl = 251.208530000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60501560--0.60505503) × R
    3.94300000000625e-05 × 6371000     		dr = 251.208530000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(-0.60501560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822493224843909 × 6371000     		do = 251.210601842918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(-0.60505503) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822470797409947 × 6371000     		du = 251.203751927304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60501560)-sin(-0.60505503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822493224843909-0.822470797409947)×R²
    abs(-0.14558436--0.14563230)×2.24274339613029e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24274339613029e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24274339613029e-05×40589641000000     		ar = 63105.3856390658m²