Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62498 / 39347
↖ ↑ ↗
← N 58.189528°
W  8.344116°		 ← 160.99 m → N 58.189528°
W  8.341369°		 →
↑
161 m
↓
↑
161 m
↓
N 58.188080°
W  8.344116°		 ← 161 m →
25 920 m²		 N 58.188080°
W  8.341369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476825714111328 y=0.300197601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476825714111328 × 217)
    floor (0.476825714111328 × 131072)
    floor (62498.5)     		tx = 62498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300197601318359 × 217)
    floor (0.300197601318359 × 131072)
    floor (39347.5)     		ty = 39347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62498 / 39347 ti = "17/62498/39347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62498/39347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62498 ÷ 217
    62498 ÷ 131072     		x = 0.476821899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39347 ÷ 217
    39347 ÷ 131072     		y = 0.300193786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.046356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14563230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300193786621094 × 2 - 1) × π
    0.399612426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25541946414965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14563230} λ = -0.14563230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25541946414965))-π/2
    2×atan(3.50931009542893)-π/2
    2×1.29319759262258-π/2
    2.58639518524515-1.57079632675     		φ = 1.01559886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14563230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01559886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.189528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62498 KachelY 39347 -0.14563230 1.01559886 -8.344116 58.189528
    Oben rechts KachelX + 1 62499 KachelY 39347 -0.14558436 1.01559886 -8.341369 58.189528
    Unten links KachelX 62498 KachelY + 1 39348 -0.14563230 1.01557359 -8.344116 58.188080
    Unten rechts KachelX + 1 62499 KachelY + 1 39348 -0.14558436 1.01557359 -8.341369 58.188080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01559886-1.01557359) × R
    2.52700000000772e-05 × 6371000     		dl = 160.995170000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01559886-1.01557359) × R
    2.52700000000772e-05 × 6371000     		dr = 160.995170000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(1.01559886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527111117044546 × 6371000     		do = 160.993302985545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(1.01557359) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527132591230512 × 6371000     		du = 160.999861754684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01559886)-sin(1.01557359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527111117044546-0.527132591230512)×R²
    abs(-0.14558436--0.14563230)×2.14741859656531e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14741859656531e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14741859656531e-05×40589641000000     		ar = 25919.6721496073m²