Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62498 / 31074
↖ ↑ ↗
← N 68.299873°
W  8.344116°		 ← 112.93 m → N 68.299873°
W  8.341369°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 68.298858°
W  8.344116°		 ← 112.94 m →
12 750 m²		 N 68.298858°
W  8.341369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476825714111328 y=0.237079620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476825714111328 × 217)
    floor (0.476825714111328 × 131072)
    floor (62498.5)     		tx = 62498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237079620361328 × 217)
    floor (0.237079620361328 × 131072)
    floor (31074.5)     		ty = 31074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62498 / 31074 ti = "17/62498/31074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62498/31074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62498 ÷ 217
    62498 ÷ 131072     		x = 0.476821899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31074 ÷ 217
    31074 ÷ 131072     		y = 0.237075805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.046356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14563230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237075805664062 × 2 - 1) × π
    0.525848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65200143470638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14563230} λ = -0.14563230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65200143470638))-π/2
    2×atan(5.21741169318842)-π/2
    2×1.38142699928245-π/2
    2.76285399856489-1.57079632675     		φ = 1.19205767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14563230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19205767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.299873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62498 KachelY 31074 -0.14563230 1.19205767 -8.344116 68.299873
    Oben rechts KachelX + 1 62499 KachelY 31074 -0.14558436 1.19205767 -8.341369 68.299873
    Unten links KachelX 62498 KachelY + 1 31075 -0.14563230 1.19203995 -8.344116 68.298858
    Unten rechts KachelX + 1 62499 KachelY + 1 31075 -0.14558436 1.19203995 -8.341369 68.298858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19205767-1.19203995) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19205767-1.19203995) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(1.19205767) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.369748809830958 × 6371000     		do = 112.930803856731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(1.19203995) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.369765273987601 × 6371000     		du = 112.935832433957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19205767)-sin(1.19203995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369748809830958-0.369765273987601)×R²
    abs(-0.14558436--0.14563230)×1.64641566425261e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.64641566425261e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.64641566425261e-05×40589641000000     		ar = 12749.5075708889m²