Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62498 / 25510
↖ ↑ ↗
← N 73.297889°
W  8.344116°		 ← 87.78 m → N 73.297889°
W  8.341369°		 →
↑
87.73 m
↓
↑
87.73 m
↓
N 73.297100°
W  8.344116°		 ← 87.78 m →
7 701 m²		 N 73.297100°
W  8.341369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476825714111328 y=0.194629669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476825714111328 × 217)
    floor (0.476825714111328 × 131072)
    floor (62498.5)     		tx = 62498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194629669189453 × 217)
    floor (0.194629669189453 × 131072)
    floor (25510.5)     		ty = 25510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62498 / 25510 ti = "17/62498/25510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62498/25510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62498 ÷ 217
    62498 ÷ 131072     		x = 0.476821899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25510 ÷ 217
    25510 ÷ 131072     		y = 0.194625854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.046356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14563230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194625854492188 × 2 - 1) × π
    0.610748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91872234419237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14563230} λ = -0.14563230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91872234419237))-π/2
    2×atan(6.81224919699976)-π/2
    2×1.42504290982676-π/2
    2.85008581965351-1.57079632675     		φ = 1.27928949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14563230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27928949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.297889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62498 KachelY 25510 -0.14563230 1.27928949 -8.344116 73.297889
    Oben rechts KachelX + 1 62499 KachelY 25510 -0.14558436 1.27928949 -8.341369 73.297889
    Unten links KachelX 62498 KachelY + 1 25511 -0.14563230 1.27927572 -8.344116 73.297100
    Unten rechts KachelX + 1 62499 KachelY + 1 25511 -0.14558436 1.27927572 -8.341369 73.297100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27928949-1.27927572) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dl = 87.7286700001532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27928949-1.27927572) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dr = 87.7286700001532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(1.27928949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287395817053157 × 6371000     		do = 87.7780800963582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14563230--0.14558436) × cos(1.27927572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287409006095834 × 6371000     		du = 87.7821083694778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27928949)-sin(1.27927572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287395817053157-0.287409006095834)×R²
    abs(-0.14558436--0.14563230)×1.31890426771641e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31890426771641e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31890426771641e-05×40589641000000     		ar = 7700.83091958591m²