Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62493 / 40081
↖ ↑ ↗
← N 57.110893°
W  8.357849°		 ← 165.85 m → N 57.110893°
W  8.355103°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.109402°
W  8.357849°		 ← 165.86 m →
27 505 m²		 N 57.109402°
W  8.355103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476787567138672 y=0.305797576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476787567138672 × 217)
    floor (0.476787567138672 × 131072)
    floor (62493.5)     		tx = 62493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305797576904297 × 217)
    floor (0.305797576904297 × 131072)
    floor (40081.5)     		ty = 40081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62493 / 40081 ti = "17/62493/40081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62493/40081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62493 ÷ 217
    62493 ÷ 131072     		x = 0.476783752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40081 ÷ 217
    40081 ÷ 131072     		y = 0.305793762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476783752441406 × 2 - 1) × π
    -0.0464324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14587199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305793762207031 × 2 - 1) × π
    0.388412475585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22023377982853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14587199} λ = -0.14587199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22023377982853))-π/2
    2×atan(3.38797968235611)-π/2
    2×1.28378472945441-π/2
    2.56756945890882-1.57079632675     		φ = 0.99677313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14587199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.357849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99677313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.110893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62493 KachelY 40081 -0.14587199 0.99677313 -8.357849 57.110893
    Oben rechts KachelX + 1 62494 KachelY 40081 -0.14582405 0.99677313 -8.355103 57.110893
    Unten links KachelX 62493 KachelY + 1 40082 -0.14587199 0.99674710 -8.357849 57.109402
    Unten rechts KachelX + 1 62494 KachelY + 1 40082 -0.14582405 0.99674710 -8.355103 57.109402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99677313-0.99674710) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99677313-0.99674710) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14587199--0.14582405) × cos(0.99677313) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543014805634829 × 6371000     		do = 165.850698841961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14587199--0.14582405) × cos(0.99674710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543036663443718 × 6371000     		du = 165.857374779416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99677313)-sin(0.99674710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543014805634829-0.543036663443718)×R²
    abs(-0.14582405--0.14587199)×2.18578088885257e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18578088885257e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18578088885257e-05×40589641000000     		ar = 27504.7574650304m²