Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62492 / 39417
↖ ↑ ↗
← N 58.088041°
W  8.360596°		 ← 161.42 m → N 58.088041°
W  8.357849°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
N 58.086589°
W  8.360596°		 ← 161.43 m →
26 060 m²		 N 58.086589°
W  8.357849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476779937744141 y=0.300731658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476779937744141 × 217)
    floor (0.476779937744141 × 131072)
    floor (62492.5)     		tx = 62492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300731658935547 × 217)
    floor (0.300731658935547 × 131072)
    floor (39417.5)     		ty = 39417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62492 / 39417 ti = "17/62492/39417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62492/39417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62492 ÷ 217
    62492 ÷ 131072     		x = 0.476776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39417 ÷ 217
    39417 ÷ 131072     		y = 0.300727844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.04644775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14591992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300727844238281 × 2 - 1) × π
    0.398544311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.25206388117625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14591992} λ = -0.14591992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25206388117625))-π/2
    2×atan(3.4975540494492)-π/2
    2×1.29231194840309-π/2
    2.58462389680618-1.57079632675     		φ = 1.01382757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14591992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.360596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01382757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.088041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62492 KachelY 39417 -0.14591992 1.01382757 -8.360596 58.088041
    Oben rechts KachelX + 1 62493 KachelY 39417 -0.14587199 1.01382757 -8.357849 58.088041
    Unten links KachelX 62492 KachelY + 1 39418 -0.14591992 1.01380223 -8.360596 58.086589
    Unten rechts KachelX + 1 62493 KachelY + 1 39418 -0.14587199 1.01380223 -8.357849 58.086589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01382757-1.01380223) × R
    2.53399999998738e-05 × 6371000     		dl = 161.441139999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01382757-1.01380223) × R
    2.53399999998738e-05 × 6371000     		dr = 161.441139999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14591992--0.14587199) × cos(1.01382757) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52861552517249 × 6371000     		do = 161.419109856193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14591992--0.14587199) × cos(1.01380223) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.528637035149903 × 6371000     		du = 161.425678186561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01382757)-sin(1.01380223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52861552517249-0.528637035149903)×R²
    abs(-0.14587199--0.14591992)×2.15099774131255e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15099774131255e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15099774131255e-05×40589641000000     		ar = 26060.2153136167m²