Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62490 / 34930
↖ ↑ ↗
← N 64.031338°
W  8.366089°		 ← 133.74 m → N 64.031338°
W  8.363342°		 →
↑
133.73 m
↓
↑
133.73 m
↓
N 64.030136°
W  8.366089°		 ← 133.75 m →
17 885 m²		 N 64.030136°
W  8.363342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476764678955078 y=0.266498565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476764678955078 × 217)
    floor (0.476764678955078 × 131072)
    floor (62490.5)     		tx = 62490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266498565673828 × 217)
    floor (0.266498565673828 × 131072)
    floor (34930.5)     		ty = 34930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62490 / 34930 ti = "17/62490/34930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62490/34930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62490 ÷ 217
    62490 ÷ 131072     		x = 0.476760864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34930 ÷ 217
    34930 ÷ 131072     		y = 0.266494750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.046478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14601580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266494750976562 × 2 - 1) × π
    0.467010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46715674977144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14601580} λ = -0.14601580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46715674977144))-π/2
    2×atan(4.33688674036917)-π/2
    2×1.34417700561533-π/2
    2.68835401123066-1.57079632675     		φ = 1.11755768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14601580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11755768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.031338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62490 KachelY 34930 -0.14601580 1.11755768 -8.366089 64.031338
    Oben rechts KachelX + 1 62491 KachelY 34930 -0.14596786 1.11755768 -8.363342 64.031338
    Unten links KachelX 62490 KachelY + 1 34931 -0.14601580 1.11753669 -8.366089 64.030136
    Unten rechts KachelX + 1 62491 KachelY + 1 34931 -0.14596786 1.11753669 -8.363342 64.030136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11755768-1.11753669) × R
    2.09899999998875e-05 × 6371000     		dl = 133.727289999283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11755768-1.11753669) × R
    2.09899999998875e-05 × 6371000     		dr = 133.727289999283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14601580--0.14596786) × cos(1.11755768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437879477996823 × 6371000     		do = 133.739663597983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14601580--0.14596786) × cos(1.11753669) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437898348617362 × 6371000     		du = 133.745427171225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11755768)-sin(1.11753669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437879477996823-0.437898348617362)×R²
    abs(-0.14596786--0.14601580)×1.88706205392908e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88706205392908e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88706205392908e-05×40589641000000     		ar = 17885.0281527104m²