Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6249 / 6358
↖ ↑ ↗
← S 69.990535°
E 94.614258°		 ← 1 672.04 m → S 69.990535°
E 94.658203°		 →
↑
1 671.43 m
↓
↑
1 671.43 m
↓
S 70.005566°
E 94.614258°		 ← 1 670.83 m →
2 793 690 m²		 S 70.005566°
E 94.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76287841796875 y=0.77618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76287841796875 × 213)
    floor (0.76287841796875 × 8192)
    floor (6249.5)     		tx = 6249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77618408203125 × 213)
    floor (0.77618408203125 × 8192)
    floor (6358.5)     		ty = 6358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6249 / 6358 ti = "13/6249/6358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6249/6358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6249 ÷ 213
    6249 ÷ 8192     		x = 0.7628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6358 ÷ 213
    6358 ÷ 8192     		y = 0.776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7628173828125 × 2 - 1) × π
    0.525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65133032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65133032} λ = 1.65133032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73493227104907))-π/2
    2×atan(0.17641214809145)-π/2
    2×0.174615523268401-π/2
    0.349231046536803-1.57079632675     		φ = -1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65133032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.614258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6249 KachelY 6358 1.65133032 -1.22156528 94.614258 -69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 6250 KachelY 6358 1.65209731 -1.22156528 94.658203 -69.990535
    Unten links KachelX 6249 KachelY + 1 6359 1.65133032 -1.22182763 94.614258 -70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 6250 KachelY + 1 6359 1.65209731 -1.22182763 94.658203 -70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22156528--1.22182763) × R
    0.000262349999999856 × 6371000     		dl = 1671.43184999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22156528--1.22182763) × R
    0.000262349999999856 × 6371000     		dr = 1671.43184999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65133032-1.65209731) × cos(-1.22156528) × R
    0.000766990000000023 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 1672.03766168768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65133032-1.65209731) × cos(-1.22182763) × R
    0.000766990000000023 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 1670.8330174365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22156528)-sin(-1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.341928847186946)×R²
    abs(1.65209731-1.65133032)×0.000246525305508061×R²
    0.000766990000000023×0.000246525305508061×6371000²
    0.000766990000000023×0.000246525305508061×40589641000000     		ar = 2793690.27778407m²