Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62488 / 40152
↖ ↑ ↗
← N 57.004850°
W  8.371582°		 ← 166.33 m → N 57.004850°
W  8.368835°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 57.003354°
W  8.371582°		 ← 166.33 m →
27 668 m²		 N 57.003354°
W  8.368835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476749420166016 y=0.306339263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476749420166016 × 217)
    floor (0.476749420166016 × 131072)
    floor (62488.5)     		tx = 62488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306339263916016 × 217)
    floor (0.306339263916016 × 131072)
    floor (40152.5)     		ty = 40152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62488 / 40152 ti = "17/62488/40152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62488/40152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62488 ÷ 217
    62488 ÷ 131072     		x = 0.47674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40152 ÷ 217
    40152 ÷ 131072     		y = 0.30633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30633544921875 × 2 - 1) × π
    0.3873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21683025995551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14611167} λ = -0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21683025995551))-π/2
    2×atan(3.37646822702364)-π/2
    2×1.28285932736715-π/2
    2.56571865473431-1.57079632675     		φ = 0.99492233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99492233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.004850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62488 KachelY 40152 -0.14611167 0.99492233 -8.371582 57.004850
    Oben rechts KachelX + 1 62489 KachelY 40152 -0.14606373 0.99492233 -8.368835 57.004850
    Unten links KachelX 62488 KachelY + 1 40153 -0.14611167 0.99489622 -8.371582 57.003354
    Unten rechts KachelX + 1 62489 KachelY + 1 40153 -0.14606373 0.99489622 -8.368835 57.003354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99492233-0.99489622) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dl = 166.346809999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99492233-0.99489622) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dr = 166.346809999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14611167--0.14606373) × cos(0.99492233) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544568034263248 × 6371000     		do = 166.325094845185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14611167--0.14606373) × cos(0.99489622) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544589932969929 × 6371000     		du = 166.331783273878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99492233)-sin(0.99489622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544568034263248-0.544589932969929)×R²
    abs(-0.14606373--0.14611167)×2.18987066812337e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18987066812337e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18987066812337e-05×40589641000000     		ar = 27668.2052514432m²