Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62487 / 39416
↖ ↑ ↗
← N 58.089493°
W  8.374329°		 ← 161.45 m → N 58.089493°
W  8.371582°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
N 58.088041°
W  8.374329°		 ← 161.45 m →
26 065 m²		 N 58.088041°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476741790771484 y=0.300724029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476741790771484 × 217)
    floor (0.476741790771484 × 131072)
    floor (62487.5)     		tx = 62487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300724029541016 × 217)
    floor (0.300724029541016 × 131072)
    floor (39416.5)     		ty = 39416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62487 / 39416 ti = "17/62487/39416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62487/39416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62487 ÷ 217
    62487 ÷ 131072     		x = 0.476737976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39416 ÷ 217
    39416 ÷ 131072     		y = 0.30072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476737976074219 × 2 - 1) × π
    -0.0465240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14615961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30072021484375 × 2 - 1) × π
    0.3985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25211181807587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14615961} λ = -0.14615961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25211181807587))-π/2
    2×atan(3.49772171536524)-π/2
    2×1.29232461823999-π/2
    2.58464923647999-1.57079632675     		φ = 1.01385291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14615961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.374329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01385291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.089493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62487 KachelY 39416 -0.14615961 1.01385291 -8.374329 58.089493
    Oben rechts KachelX + 1 62488 KachelY 39416 -0.14611167 1.01385291 -8.371582 58.089493
    Unten links KachelX 62487 KachelY + 1 39417 -0.14615961 1.01382757 -8.374329 58.088041
    Unten rechts KachelX + 1 62488 KachelY + 1 39417 -0.14611167 1.01382757 -8.371582 58.088041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01385291-1.01382757) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dl = 161.441140000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01385291-1.01382757) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dr = 161.441140000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14615961--0.14611167) × cos(1.01385291) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528594014855644 × 6371000     		do = 161.446218146844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14615961--0.14611167) × cos(1.01382757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52861552517249 × 6371000     		du = 161.452787951284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01385291)-sin(1.01382757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528594014855644-0.52861552517249)×R²
    abs(-0.14611167--0.14615961)×2.15103168457187e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15103168457187e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15103168457187e-05×40589641000000     		ar = 26064.5918262171m²