Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62486 / 40150
↖ ↑ ↗
← N 57.007842°
W  8.377075°		 ← 166.28 m → N 57.007842°
W  8.374329°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 57.006346°
W  8.377075°		 ← 166.28 m →
27 660 m²		 N 57.006346°
W  8.374329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476734161376953 y=0.306324005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476734161376953 × 217)
    floor (0.476734161376953 × 131072)
    floor (62486.5)     		tx = 62486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306324005126953 × 217)
    floor (0.306324005126953 × 131072)
    floor (40150.5)     		ty = 40150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62486 / 40150 ti = "17/62486/40150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62486/40150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62486 ÷ 217
    62486 ÷ 131072     		x = 0.476730346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40150 ÷ 217
    40150 ÷ 131072     		y = 0.306320190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476730346679688 × 2 - 1) × π
    -0.046539306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14620754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306320190429688 × 2 - 1) × π
    0.387359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21692613375475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14620754} λ = -0.14620754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21692613375475))-π/2
    2×atan(3.37679195737896)-π/2
    2×1.28288543122089-π/2
    2.56577086244177-1.57079632675     		φ = 0.99497454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14620754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.377075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99497454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.007842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62486 KachelY 40150 -0.14620754 0.99497454 -8.377075 57.007842
    Oben rechts KachelX + 1 62487 KachelY 40150 -0.14615961 0.99497454 -8.374329 57.007842
    Unten links KachelX 62486 KachelY + 1 40151 -0.14620754 0.99494843 -8.377075 57.006346
    Unten rechts KachelX + 1 62487 KachelY + 1 40151 -0.14615961 0.99494843 -8.374329 57.006346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99497454-0.99494843) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dl = 166.346809999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99497454-0.99494843) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dr = 166.346809999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14620754--0.14615961) × cos(0.99497454) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544524244123602 × 6371000     		do = 166.277028569804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14620754--0.14615961) × cos(0.99494843) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544546143572626 × 6371000     		du = 166.283715830014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99497454)-sin(0.99494843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544524244123602-0.544546143572626)×R²
    abs(-0.14615961--0.14620754)×2.18994490231994e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18994490231994e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18994490231994e-05×40589641000000     		ar = 27660.209482671m²