Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62485 / 27778
↖ ↑ ↗
← N 71.411426°
W  8.379822°		 ← 97.36 m → N 71.411426°
W  8.377075°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
N 71.410550°
W  8.379822°		 ← 97.37 m →
9 478 m²		 N 71.410550°
W  8.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476726531982422 y=0.211933135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476726531982422 × 217)
    floor (0.476726531982422 × 131072)
    floor (62485.5)     		tx = 62485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211933135986328 × 217)
    floor (0.211933135986328 × 131072)
    floor (27778.5)     		ty = 27778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62485 / 27778 ti = "17/62485/27778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62485/27778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62485 ÷ 217
    62485 ÷ 131072     		x = 0.476722717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27778 ÷ 217
    27778 ÷ 131072     		y = 0.211929321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476722717285156 × 2 - 1) × π
    -0.0465545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14625548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211929321289062 × 2 - 1) × π
    0.576141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81000145585408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14625548} λ = -0.14625548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81000145585408))-π/2
    2×atan(6.11045632815691)-π/2
    2×1.40858041575443-π/2
    2.81716083150886-1.57079632675     		φ = 1.24636450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14625548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.379822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24636450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.411426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62485 KachelY 27778 -0.14625548 1.24636450 -8.379822 71.411426
    Oben rechts KachelX + 1 62486 KachelY 27778 -0.14620754 1.24636450 -8.377075 71.411426
    Unten links KachelX 62485 KachelY + 1 27779 -0.14625548 1.24634922 -8.379822 71.410550
    Unten rechts KachelX + 1 62486 KachelY + 1 27779 -0.14620754 1.24634922 -8.377075 71.410550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24636450-1.24634922) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dl = 97.3488800011018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24636450-1.24634922) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dr = 97.3488800011018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14625548--0.14620754) × cos(1.24636450) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318770304595669 × 6371000     		do = 97.36065617115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14625548--0.14620754) × cos(1.24634922) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318784787431356 × 6371000     		du = 97.3650796019572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24636450)-sin(1.24634922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318770304595669-0.318784787431356)×R²
    abs(-0.14620754--0.14625548)×1.44828356876125e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44828356876125e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44828356876125e-05×40589641000000     		ar = 9478.16614252051m²