Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62484 / 27779
↖ ↑ ↗
← N 71.410550°
W  8.382568°		 ← 97.37 m → N 71.410550°
W  8.379822°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
N 71.409675°
W  8.382568°		 ← 97.37 m →
9 479 m²		 N 71.409675°
W  8.379822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476718902587891 y=0.211940765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476718902587891 × 217)
    floor (0.476718902587891 × 131072)
    floor (62484.5)     		tx = 62484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211940765380859 × 217)
    floor (0.211940765380859 × 131072)
    floor (27779.5)     		ty = 27779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62484 / 27779 ti = "17/62484/27779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62484/27779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62484 ÷ 217
    62484 ÷ 131072     		x = 0.476715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27779 ÷ 217
    27779 ÷ 131072     		y = 0.211936950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14630342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211936950683594 × 2 - 1) × π
    0.576126098632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.80995351895446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14630342} λ = -0.14630342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80995351895446))-π/2
    2×atan(6.11016341884591)-π/2
    2×1.40857277515091-π/2
    2.81714555030182-1.57079632675     		φ = 1.24634922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14630342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24634922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.410550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62484 KachelY 27779 -0.14630342 1.24634922 -8.382568 71.410550
    Oben rechts KachelX + 1 62485 KachelY 27779 -0.14625548 1.24634922 -8.379822 71.410550
    Unten links KachelX 62484 KachelY + 1 27780 -0.14630342 1.24633394 -8.382568 71.409675
    Unten rechts KachelX + 1 62485 KachelY + 1 27780 -0.14625548 1.24633394 -8.379822 71.409675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24634922-1.24633394) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24634922-1.24633394) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14630342--0.14625548) × cos(1.24634922) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318784787431356 × 6371000     		do = 97.3650796019572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14630342--0.14625548) × cos(1.24633394) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318799270192614 × 6371000     		du = 97.3695030100317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24634922)-sin(1.24633394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318784787431356-0.318799270192614)×R²
    abs(-0.14625548--0.14630342)×1.44827612580944e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44827612580944e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44827612580944e-05×40589641000000     		ar = 9478.59675753081m²