Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62483 / 40139
↖ ↑ ↗
← N 57.024289°
W  8.385315°		 ← 166.20 m → N 57.024289°
W  8.382568°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.022794°
W  8.385315°		 ← 166.21 m →
27 627 m²		 N 57.022794°
W  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476711273193359 y=0.306240081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476711273193359 × 217)
    floor (0.476711273193359 × 131072)
    floor (62483.5)     		tx = 62483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306240081787109 × 217)
    floor (0.306240081787109 × 131072)
    floor (40139.5)     		ty = 40139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62483 / 40139 ti = "17/62483/40139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62483/40139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62483 ÷ 217
    62483 ÷ 131072     		x = 0.476707458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40139 ÷ 217
    40139 ÷ 131072     		y = 0.306236267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476707458496094 × 2 - 1) × π
    -0.0465850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14635135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306236267089844 × 2 - 1) × π
    0.387527465820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21745343965057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14635135} λ = -0.14635135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21745343965057))-π/2
    2×atan(3.37857302923062)-π/2
    2×1.28302896489901-π/2
    2.56605792979803-1.57079632675     		φ = 0.99526160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14635135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.385315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99526160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.024289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62483 KachelY 40139 -0.14635135 0.99526160 -8.385315 57.024289
    Oben rechts KachelX + 1 62484 KachelY 40139 -0.14630342 0.99526160 -8.382568 57.024289
    Unten links KachelX 62483 KachelY + 1 40140 -0.14635135 0.99523551 -8.385315 57.022794
    Unten rechts KachelX + 1 62484 KachelY + 1 40140 -0.14630342 0.99523551 -8.382568 57.022794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99526160-0.99523551) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99526160-0.99523551) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14635135--0.14630342) × cos(0.99526160) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544283451522348 × 6371000     		do = 166.203499652276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14635135--0.14630342) × cos(0.99523551) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544305338274091 × 6371000     		du = 166.210183035219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99526160)-sin(0.99523551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544283451522348-0.544305338274091)×R²
    abs(-0.14630342--0.14635135)×2.18867517430832e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18867517430832e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18867517430832e-05×40589641000000     		ar = 27626.7997834125m²