Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62482 / 40140
↖ ↑ ↗
← N 57.022794°
W  8.388061°		 ← 166.24 m → N 57.022794°
W  8.385315°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.021299°
W  8.388061°		 ← 166.25 m →
27 634 m²		 N 57.021299°
W  8.385315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476703643798828 y=0.306247711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476703643798828 × 217)
    floor (0.476703643798828 × 131072)
    floor (62482.5)     		tx = 62482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306247711181641 × 217)
    floor (0.306247711181641 × 131072)
    floor (40140.5)     		ty = 40140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62482 / 40140 ti = "17/62482/40140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62482/40140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62482 ÷ 217
    62482 ÷ 131072     		x = 0.476699829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40140 ÷ 217
    40140 ÷ 131072     		y = 0.306243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476699829101562 × 2 - 1) × π
    -0.046600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14639929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306243896484375 × 2 - 1) × π
    0.38751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21740550275095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14639929} λ = -0.14639929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21740550275095))-π/2
    2×atan(3.37841107479629)-π/2
    2×1.28301591900617-π/2
    2.56603183801234-1.57079632675     		φ = 0.99523551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14639929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.388061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99523551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.022794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62482 KachelY 40140 -0.14639929 0.99523551 -8.388061 57.022794
    Oben rechts KachelX + 1 62483 KachelY 40140 -0.14635135 0.99523551 -8.385315 57.022794
    Unten links KachelX 62482 KachelY + 1 40141 -0.14639929 0.99520942 -8.388061 57.021299
    Unten rechts KachelX + 1 62483 KachelY + 1 40141 -0.14635135 0.99520942 -8.385315 57.021299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99523551-0.99520942) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99523551-0.99520942) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14639929--0.14635135) × cos(0.99523551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544305338274091 × 6371000     		do = 166.244860728302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14639929--0.14635135) × cos(0.99520942) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544327224655332 × 6371000     		du = 166.251545392488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99523551)-sin(0.99520942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544305338274091-0.544327224655332)×R²
    abs(-0.14635135--0.14639929)×2.18863812408987e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18863812408987e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18863812408987e-05×40589641000000     		ar = 27633.6749028097m²