Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62482 / 34898
↖ ↑ ↗
← N 64.069798°
W  8.388061°		 ← 133.56 m → N 64.069798°
W  8.385315°		 →
↑
133.54 m
↓
↑
133.54 m
↓
N 64.068597°
W  8.388061°		 ← 133.56 m →
17 835 m²		 N 64.068597°
W  8.385315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476703643798828 y=0.266254425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476703643798828 × 217)
    floor (0.476703643798828 × 131072)
    floor (62482.5)     		tx = 62482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266254425048828 × 217)
    floor (0.266254425048828 × 131072)
    floor (34898.5)     		ty = 34898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62482 / 34898 ti = "17/62482/34898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62482/34898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62482 ÷ 217
    62482 ÷ 131072     		x = 0.476699829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34898 ÷ 217
    34898 ÷ 131072     		y = 0.266250610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476699829101562 × 2 - 1) × π
    -0.046600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14639929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266250610351562 × 2 - 1) × π
    0.467498779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46869073055928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14639929} λ = -0.14639929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46869073055928))-π/2
    2×atan(4.34354454647574)-π/2
    2×1.34451262346181-π/2
    2.68902524692363-1.57079632675     		φ = 1.11822892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14639929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.388061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11822892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.069798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62482 KachelY 34898 -0.14639929 1.11822892 -8.388061 64.069798
    Oben rechts KachelX + 1 62483 KachelY 34898 -0.14635135 1.11822892 -8.385315 64.069798
    Unten links KachelX 62482 KachelY + 1 34899 -0.14639929 1.11820796 -8.388061 64.068597
    Unten rechts KachelX + 1 62483 KachelY + 1 34899 -0.14635135 1.11820796 -8.385315 64.068597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11822892-1.11820796) × R
    2.09600000000698e-05 × 6371000     		dl = 133.536160000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11822892-1.11820796) × R
    2.09600000000698e-05 × 6371000     		dr = 133.536160000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14639929--0.14635135) × cos(1.11822892) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437275912026747 × 6371000     		do = 133.555319014934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14639929--0.14635135) × cos(1.11820796) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437294761833048 × 6371000     		du = 133.561076230972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11822892)-sin(1.11820796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437275912026747-0.437294761833048)×R²
    abs(-0.14635135--0.14639929)×1.88498063012354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88498063012354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88498063012354e-05×40589641000000     		ar = 17834.8488478354m²