Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62481 / 34259
↖ ↑ ↗
← N 64.826749°
W  8.390808°		 ← 129.91 m → N 64.826749°
W  8.388061°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 64.825581°
W  8.390808°		 ← 129.92 m →
16 877 m²		 N 64.825581°
W  8.388061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476696014404297 y=0.261379241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476696014404297 × 217)
    floor (0.476696014404297 × 131072)
    floor (62481.5)     		tx = 62481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261379241943359 × 217)
    floor (0.261379241943359 × 131072)
    floor (34259.5)     		ty = 34259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62481 / 34259 ti = "17/62481/34259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62481/34259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62481 ÷ 217
    62481 ÷ 131072     		x = 0.476692199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34259 ÷ 217
    34259 ÷ 131072     		y = 0.261375427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476692199707031 × 2 - 1) × π
    -0.0466156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14644723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261375427246094 × 2 - 1) × π
    0.477249145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.4993224094165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14644723} λ = -0.14644723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4993224094165))-π/2
    2×atan(4.47865334863018)-π/2
    2×1.35111827131515-π/2
    2.7022365426303-1.57079632675     		φ = 1.13144022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14644723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.390808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13144022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.826749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62481 KachelY 34259 -0.14644723 1.13144022 -8.390808 64.826749
    Oben rechts KachelX + 1 62482 KachelY 34259 -0.14639929 1.13144022 -8.388061 64.826749
    Unten links KachelX 62481 KachelY + 1 34260 -0.14644723 1.13141983 -8.390808 64.825581
    Unten rechts KachelX + 1 62482 KachelY + 1 34260 -0.14639929 1.13141983 -8.388061 64.825581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13144022-1.13141983) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13144022-1.13141983) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14644723--0.14639929) × cos(1.13144022) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.425356813361081 × 6371000     		do = 129.914919484915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14644723--0.14639929) × cos(1.13141983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.425375266747399 × 6371000     		du = 129.920555624087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13144022)-sin(1.13141983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425356813361081-0.425375266747399)×R²
    abs(-0.14639929--0.14644723)×1.84533863173963e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84533863173963e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84533863173963e-05×40589641000000     		ar = 16876.9234231299m²