Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62480 / 39697
↖ ↑ ↗
← N 57.679191°
W  8.393555°		 ← 163.30 m → N 57.679191°
W  8.390808°		 →
↑
163.29 m
↓
↑
163.29 m
↓
N 57.677723°
W  8.393555°		 ← 163.31 m →
26 665 m²		 N 57.677723°
W  8.390808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476688385009766 y=0.302867889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476688385009766 × 217)
    floor (0.476688385009766 × 131072)
    floor (62480.5)     		tx = 62480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302867889404297 × 217)
    floor (0.302867889404297 × 131072)
    floor (39697.5)     		ty = 39697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62480 / 39697 ti = "17/62480/39697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62480/39697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62480 ÷ 217
    62480 ÷ 131072     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39697 ÷ 217
    39697 ÷ 131072     		y = 0.302864074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302864074707031 × 2 - 1) × π
    0.394271850585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.23864154928263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23864154928263))-π/2
    2×atan(3.45092237120363)-π/2
    2×1.28874406481464-π/2
    2.57748812962928-1.57079632675     		φ = 1.00669180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00669180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.679191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62480 KachelY 39697 -0.14649517 1.00669180 -8.393555 57.679191
    Oben rechts KachelX + 1 62481 KachelY 39697 -0.14644723 1.00669180 -8.390808 57.679191
    Unten links KachelX 62480 KachelY + 1 39698 -0.14649517 1.00666617 -8.393555 57.677723
    Unten rechts KachelX + 1 62481 KachelY + 1 39698 -0.14644723 1.00666617 -8.390808 57.677723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00669180-1.00666617) × R
    2.56300000001097e-05 × 6371000     		dl = 163.288730000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00669180-1.00666617) × R
    2.56300000001097e-05 × 6371000     		dr = 163.288730000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14644723) × cos(1.00669180) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534659294983714 × 6371000     		do = 163.298710818267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14644723) × cos(1.00666617) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534680953893569 × 6371000     		du = 163.305326006837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00669180)-sin(1.00666617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534659294983714-0.534680953893569)×R²
    abs(-0.14644723--0.14649517)×2.16589098547271e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16589098547271e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16589098547271e-05×40589641000000     		ar = 26665.3791944011m²