Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62479 / 76799
↖ ↑ ↗
← S 29.532840°
W  8.396301°		 ← 265.69 m → S 29.532840°
W  8.393555°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.535229°
W  8.396301°		 ← 265.68 m →
70 601 m²		 S 29.535229°
W  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476680755615234 y=0.585933685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476680755615234 × 217)
    floor (0.476680755615234 × 131072)
    floor (62479.5)     		tx = 62479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585933685302734 × 217)
    floor (0.585933685302734 × 131072)
    floor (76799.5)     		ty = 76799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62479 / 76799 ti = "17/62479/76799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62479/76799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62479 ÷ 217
    62479 ÷ 131072     		x = 0.476676940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76799 ÷ 217
    76799 ÷ 131072     		y = 0.585929870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476676940917969 × 2 - 1) × π
    -0.0466461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14654310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585929870605469 × 2 - 1) × π
    -0.171859741210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.539913300420692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14654310} λ = -0.14654310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539913300420692))-π/2
    2×atan(0.582798778592582)-π/2
    2×0.527675516863415-π/2
    1.05535103372683-1.57079632675     		φ = -0.51544529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14654310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.396301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51544529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.532840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62479 KachelY 76799 -0.14654310 -0.51544529 -8.396301 -29.532840
    Oben rechts KachelX + 1 62480 KachelY 76799 -0.14649517 -0.51544529 -8.393555 -29.532840
    Unten links KachelX 62479 KachelY + 1 76800 -0.14654310 -0.51548700 -8.396301 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 62480 KachelY + 1 76800 -0.14649517 -0.51548700 -8.393555 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51544529--0.51548700) × R
    4.17100000000836e-05 × 6371000     		dl = 265.734410000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51544529--0.51548700) × R
    4.17100000000836e-05 × 6371000     		dr = 265.734410000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14654310--0.14649517) × cos(-0.51544529) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870073315180181 × 6371000     		do = 265.687353772259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14654310--0.14649517) × cos(-0.51548700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 265.681075361785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51544529)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870073315180181-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.14649517--0.14654310)×2.05605473405646e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05605473405646e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05605473405646e-05×40589641000000     		ar = 70601.4380146486m²