Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62478 / 78997
↖ ↑ ↗
← S 34.644507°
W  8.399048°		 ← 251.27 m → S 34.644507°
W  8.396301°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
S 34.646766°
W  8.399048°		 ← 251.27 m →
63 137 m²		 S 34.646766°
W  8.396301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476673126220703 y=0.602703094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476673126220703 × 217)
    floor (0.476673126220703 × 131072)
    floor (62478.5)     		tx = 62478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602703094482422 × 217)
    floor (0.602703094482422 × 131072)
    floor (78997.5)     		ty = 78997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62478 / 78997 ti = "17/62478/78997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62478/78997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62478 ÷ 217
    62478 ÷ 131072     		x = 0.476669311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78997 ÷ 217
    78997 ÷ 131072     		y = 0.602699279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476669311523438 × 2 - 1) × π
    -0.046661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14659104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602699279785156 × 2 - 1) × π
    -0.205398559570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.645278605785576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14659104} λ = -0.14659104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645278605785576))-π/2
    2×atan(0.52451638844746)-π/2
    2×0.483067808775494-π/2
    0.966135617550988-1.57079632675     		φ = -0.60466071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14659104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.399048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60466071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.644507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62478 KachelY 78997 -0.14659104 -0.60466071 -8.399048 -34.644507
    Oben rechts KachelX + 1 62479 KachelY 78997 -0.14654310 -0.60466071 -8.396301 -34.644507
    Unten links KachelX 62478 KachelY + 1 78998 -0.14659104 -0.60470015 -8.399048 -34.646766
    Unten rechts KachelX + 1 62479 KachelY + 1 78998 -0.14654310 -0.60470015 -8.396301 -34.646766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60466071--0.60470015) × R
    3.94400000000017e-05 × 6371000     		dl = 251.272240000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60466071--0.60470015) × R
    3.94400000000017e-05 × 6371000     		dr = 251.272240000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14659104--0.14654310) × cos(-0.60466071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822695025571255 × 6371000     		do = 251.2722369794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14659104--0.14654310) × cos(-0.60470015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8226726039628 × 6371000     		du = 251.265388843046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60466071)-sin(-0.60470015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822695025571255-0.8226726039628)×R²
    abs(-0.14654310--0.14659104)×2.24216084554474e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24216084554474e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24216084554474e-05×40589641000000     		ar = 63136.8774705407m²