Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62478 / 27749
↖ ↑ ↗
← N 71.436800°
W  8.399048°		 ← 97.23 m → N 71.436800°
W  8.396301°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 71.435925°
W  8.399048°		 ← 97.24 m →
9 453 m²		 N 71.435925°
W  8.396301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476673126220703 y=0.211711883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476673126220703 × 217)
    floor (0.476673126220703 × 131072)
    floor (62478.5)     		tx = 62478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211711883544922 × 217)
    floor (0.211711883544922 × 131072)
    floor (27749.5)     		ty = 27749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62478 / 27749 ti = "17/62478/27749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62478/27749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62478 ÷ 217
    62478 ÷ 131072     		x = 0.476669311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27749 ÷ 217
    27749 ÷ 131072     		y = 0.211708068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476669311523438 × 2 - 1) × π
    -0.046661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14659104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211708068847656 × 2 - 1) × π
    0.576583862304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.81139162594306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14659104} λ = -0.14659104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81139162594306))-π/2
    2×atan(6.11895680896244)-π/2
    2×1.4088018423023-π/2
    2.81760368460461-1.57079632675     		φ = 1.24680736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14659104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.399048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24680736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.436800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62478 KachelY 27749 -0.14659104 1.24680736 -8.399048 71.436800
    Oben rechts KachelX + 1 62479 KachelY 27749 -0.14654310 1.24680736 -8.396301 71.436800
    Unten links KachelX 62478 KachelY + 1 27750 -0.14659104 1.24679210 -8.399048 71.435925
    Unten rechts KachelX + 1 62479 KachelY + 1 27750 -0.14654310 1.24679210 -8.396301 71.435925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24680736-1.24679210) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24680736-1.24679210) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14659104--0.14654310) × cos(1.24680736) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318350516472169 × 6371000     		do = 97.2324420728871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14659104--0.14654310) × cos(1.24679210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318364982504208 × 6371000     		du = 97.2368603714274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24680736)-sin(1.24679210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318350516472169-0.318364982504208)×R²
    abs(-0.14654310--0.14659104)×1.44660320390289e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44660320390289e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44660320390289e-05×40589641000000     		ar = 9453.29475467083m²