Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62477 / 25596
↖ ↑ ↗
← N 73.229870°
W  8.401795°		 ← 88.13 m → N 73.229870°
W  8.399048°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 73.229077°
W  8.401795°		 ← 88.13 m →
7 765 m²		 N 73.229077°
W  8.399048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476665496826172 y=0.195285797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476665496826172 × 217)
    floor (0.476665496826172 × 131072)
    floor (62477.5)     		tx = 62477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195285797119141 × 217)
    floor (0.195285797119141 × 131072)
    floor (25596.5)     		ty = 25596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62477 / 25596 ti = "17/62477/25596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62477/25596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62477 ÷ 217
    62477 ÷ 131072     		x = 0.476661682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25596 ÷ 217
    25596 ÷ 131072     		y = 0.195281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476661682128906 × 2 - 1) × π
    -0.0466766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14663898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195281982421875 × 2 - 1) × π
    0.60943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91459977082504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14663898} λ = -0.14663898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91459977082504))-π/2
    2×atan(6.78422300958903)-π/2
    2×1.4244493336598-π/2
    2.84889866731961-1.57079632675     		φ = 1.27810234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14663898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.401795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27810234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.229870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62477 KachelY 25596 -0.14663898 1.27810234 -8.401795 73.229870
    Oben rechts KachelX + 1 62478 KachelY 25596 -0.14659104 1.27810234 -8.399048 73.229870
    Unten links KachelX 62477 KachelY + 1 25597 -0.14663898 1.27808851 -8.401795 73.229077
    Unten rechts KachelX + 1 62478 KachelY + 1 25597 -0.14659104 1.27808851 -8.399048 73.229077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27810234-1.27808851) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dl = 88.1109300006593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27810234-1.27808851) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dr = 88.1109300006593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14663898--0.14659104) × cos(1.27810234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.288532680671414 × 6371000     		do = 88.1253075082436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14663898--0.14659104) × cos(1.27808851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.288545922454579 × 6371000     		du = 88.1293518896658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27810234)-sin(1.27808851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288532680671414-0.288545922454579)×R²
    abs(-0.14659104--0.14663898)×1.32417831653076e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.32417831653076e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32417831653076e-05×40589641000000     		ar = 7764.98097838948m²