Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62476 / 34900
↖ ↑ ↗
← N 64.067396°
W  8.404541°		 ← 133.54 m → N 64.067396°
W  8.401795°		 →
↑
133.60 m
↓
↑
133.60 m
↓
N 64.066194°
W  8.404541°		 ← 133.54 m →
17 841 m²		 N 64.066194°
W  8.401795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476657867431641 y=0.266269683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476657867431641 × 217)
    floor (0.476657867431641 × 131072)
    floor (62476.5)     		tx = 62476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266269683837891 × 217)
    floor (0.266269683837891 × 131072)
    floor (34900.5)     		ty = 34900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62476 / 34900 ti = "17/62476/34900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62476/34900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62476 ÷ 217
    62476 ÷ 131072     		x = 0.476654052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34900 ÷ 217
    34900 ÷ 131072     		y = 0.266265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.04669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14668691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266265869140625 × 2 - 1) × π
    0.46746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46859485676004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14668691} λ = -0.14668691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46859485676004))-π/2
    2×atan(4.34312813431972)-π/2
    2×1.34449166090662-π/2
    2.68898332181324-1.57079632675     		φ = 1.11818700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14668691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11818700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.067396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62476 KachelY 34900 -0.14668691 1.11818700 -8.404541 64.067396
    Oben rechts KachelX + 1 62477 KachelY 34900 -0.14663898 1.11818700 -8.401795 64.067396
    Unten links KachelX 62476 KachelY + 1 34901 -0.14668691 1.11816603 -8.404541 64.066194
    Unten rechts KachelX + 1 62477 KachelY + 1 34901 -0.14663898 1.11816603 -8.401795 64.066194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11818700-1.11816603) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dl = 133.599870000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11818700-1.11816603) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dr = 133.599870000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14668691--0.14663898) × cos(1.11818700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.437313611447236 × 6371000     		do = 133.538972138164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14668691--0.14663898) × cos(1.11816603) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.437332469862302 × 6371000     		du = 133.544730782071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11818700)-sin(1.11816603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437313611447236-0.437332469862302)×R²
    abs(-0.14663898--0.14668691)×1.88584150658255e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88584150658255e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88584150658255e-05×40589641000000     		ar = 17841.1739952304m²