Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62475 / 25593
↖ ↑ ↗
← N 73.232247°
W  8.407288°		 ← 88.11 m → N 73.232247°
W  8.404541°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 73.231455°
W  8.407288°		 ← 88.12 m →
7 764 m²		 N 73.231455°
W  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476650238037109 y=0.195262908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476650238037109 × 217)
    floor (0.476650238037109 × 131072)
    floor (62475.5)     		tx = 62475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195262908935547 × 217)
    floor (0.195262908935547 × 131072)
    floor (25593.5)     		ty = 25593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62475 / 25593 ti = "17/62475/25593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62475/25593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62475 ÷ 217
    62475 ÷ 131072     		x = 0.476646423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25593 ÷ 217
    25593 ÷ 131072     		y = 0.195259094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476646423339844 × 2 - 1) × π
    -0.0467071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14673485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195259094238281 × 2 - 1) × π
    0.609481811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.9147435815239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14673485} λ = -0.14673485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9147435815239))-π/2
    2×atan(6.78519872359864)-π/2
    2×1.42447007927468-π/2
    2.84894015854935-1.57079632675     		φ = 1.27814383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14673485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.407288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27814383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.232247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62475 KachelY 25593 -0.14673485 1.27814383 -8.407288 73.232247
    Oben rechts KachelX + 1 62476 KachelY 25593 -0.14668691 1.27814383 -8.404541 73.232247
    Unten links KachelX 62475 KachelY + 1 25594 -0.14673485 1.27813000 -8.407288 73.231455
    Unten rechts KachelX + 1 62476 KachelY + 1 25594 -0.14668691 1.27813000 -8.404541 73.231455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27814383-1.27813000) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dl = 88.1109300006593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27814383-1.27813000) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dr = 88.1109300006593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14673485--0.14668691) × cos(1.27814383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.288492954990805 × 6371000     		do = 88.1131742628465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14673485--0.14668691) × cos(1.27813000) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.288506196939524 × 6371000     		du = 88.1172186948332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27814383)-sin(1.27813000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288492954990805-0.288506196939524)×R²
    abs(-0.14668691--0.14673485)×1.32419487196556e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.32419487196556e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32419487196556e-05×40589641000000     		ar = 7763.91190918255m²