Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62474 / 76794
↖ ↑ ↗
← S 29.520891°
W  8.410034°		 ← 265.77 m → S 29.520891°
W  8.407288°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.523280°
W  8.410034°		 ← 265.77 m →
70 625 m²		 S 29.523280°
W  8.407288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476642608642578 y=0.585895538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476642608642578 × 217)
    floor (0.476642608642578 × 131072)
    floor (62474.5)     		tx = 62474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585895538330078 × 217)
    floor (0.585895538330078 × 131072)
    floor (76794.5)     		ty = 76794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62474 / 76794 ti = "17/62474/76794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62474/76794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62474 ÷ 217
    62474 ÷ 131072     		x = 0.476638793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76794 ÷ 217
    76794 ÷ 131072     		y = 0.585891723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476638793945312 × 2 - 1) × π
    -0.046722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14678279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585891723632812 × 2 - 1) × π
    -0.171783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.539673615922592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14678279} λ = -0.14678279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539673615922592))-π/2
    2×atan(0.582938483167164)-π/2
    2×0.527779794565274-π/2
    1.05555958913055-1.57079632675     		φ = -0.51523674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14678279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.410034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51523674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.520891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62474 KachelY 76794 -0.14678279 -0.51523674 -8.410034 -29.520891
    Oben rechts KachelX + 1 62475 KachelY 76794 -0.14673485 -0.51523674 -8.407288 -29.520891
    Unten links KachelX 62474 KachelY + 1 76795 -0.14678279 -0.51527845 -8.410034 -29.523280
    Unten rechts KachelX + 1 62475 KachelY + 1 76795 -0.14673485 -0.51527845 -8.407288 -29.523280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51523674--0.51527845) × R
    4.17100000000836e-05 × 6371000     		dl = 265.734410000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51523674--0.51527845) × R
    4.17100000000836e-05 × 6371000     		dr = 265.734410000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14678279--0.14673485) × cos(-0.51523674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870176095210856 × 6371000     		do = 265.774177810066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14678279--0.14673485) × cos(-0.51527845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870155542232311 × 6371000     		du = 265.767900401384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51523674)-sin(-0.51527845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870176095210856-0.870155542232311)×R²
    abs(-0.14673485--0.14678279)×2.05529785453074e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05529785453074e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05529785453074e-05×40589641000000     		ar = 70624.5102822473m²