Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62470 / 39698
↖ ↑ ↗
← N 57.677723°
W  8.421020°		 ← 163.27 m → N 57.677723°
W  8.418274°		 →
↑
163.29 m
↓
↑
163.29 m
↓
N 57.676254°
W  8.421020°		 ← 163.28 m →
26 661 m²		 N 57.676254°
W  8.418274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476612091064453 y=0.302875518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476612091064453 × 217)
    floor (0.476612091064453 × 131072)
    floor (62470.5)     		tx = 62470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302875518798828 × 217)
    floor (0.302875518798828 × 131072)
    floor (39698.5)     		ty = 39698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62470 / 39698 ti = "17/62470/39698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62470/39698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62470 ÷ 217
    62470 ÷ 131072     		x = 0.476608276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39698 ÷ 217
    39698 ÷ 131072     		y = 0.302871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476608276367188 × 2 - 1) × π
    -0.046783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14697453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302871704101562 × 2 - 1) × π
    0.394256591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23859361238301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14697453} λ = -0.14697453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23859361238301))-π/2
    2×atan(3.45075694864928)-π/2
    2×1.28873124960065-π/2
    2.5774624992013-1.57079632675     		φ = 1.00666617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14697453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.421020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00666617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.677723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62470 KachelY 39698 -0.14697453 1.00666617 -8.421020 57.677723
    Oben rechts KachelX + 1 62471 KachelY 39698 -0.14692660 1.00666617 -8.418274 57.677723
    Unten links KachelX 62470 KachelY + 1 39699 -0.14697453 1.00664054 -8.421020 57.676254
    Unten rechts KachelX + 1 62471 KachelY + 1 39699 -0.14692660 1.00664054 -8.418274 57.676254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00666617-1.00664054) × R
    2.56299999998877e-05 × 6371000     		dl = 163.288729999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00666617-1.00664054) × R
    2.56299999998877e-05 × 6371000     		dr = 163.288729999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14697453--0.14692660) × cos(1.00666617) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.534680953893569 × 6371000     		do = 163.271261483282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14697453--0.14692660) × cos(1.00664054) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.534702612452193 × 6371000     		du = 163.27787518471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00666617)-sin(1.00664054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534680953893569-0.534702612452193)×R²
    abs(-0.14692660--0.14697453)×2.16585586242379e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16585586242379e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16585586242379e-05×40589641000000     		ar = 26660.8969060151m²