Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62468 / 76804
↖ ↑ ↗
← S 29.544788°
W  8.426514°		 ← 265.71 m → S 29.544788°
W  8.423767°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.547177°
W  8.426514°		 ← 265.71 m →
70 608 m²		 S 29.547177°
W  8.423767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476596832275391 y=0.585971832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476596832275391 × 217)
    floor (0.476596832275391 × 131072)
    floor (62468.5)     		tx = 62468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585971832275391 × 217)
    floor (0.585971832275391 × 131072)
    floor (76804.5)     		ty = 76804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62468 / 76804 ti = "17/62468/76804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62468/76804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62468 ÷ 217
    62468 ÷ 131072     		x = 0.476593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76804 ÷ 217
    76804 ÷ 131072     		y = 0.585968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.17193603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.540152984918793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14707041} λ = -0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540152984918793))-π/2
    2×atan(0.582659107499008)-π/2
    2×0.527571251480804-π/2
    1.05514250296161-1.57079632675     		φ = -0.51565382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51565382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.544788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62468 KachelY 76804 -0.14707041 -0.51565382 -8.426514 -29.544788
    Oben rechts KachelX + 1 62469 KachelY 76804 -0.14702247 -0.51565382 -8.423767 -29.544788
    Unten links KachelX 62468 KachelY + 1 76805 -0.14707041 -0.51569553 -8.426514 -29.547177
    Unten rechts KachelX + 1 62469 KachelY + 1 76805 -0.14702247 -0.51569553 -8.423767 -29.547177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51565382--0.51569553) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51565382--0.51569553) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14707041--0.14702247) × cos(-0.51565382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.869970507169395 × 6371000     		do = 265.711385930521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14707041--0.14702247) × cos(-0.51569553) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.869949939054879 × 6371000     		du = 265.705103898925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51565382)-sin(-0.51569553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869970507169395-0.869949939054879)×R²
    abs(-0.14702247--0.14707041)×2.05681145157843e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05681145157843e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05681145157843e-05×40589641000000     		ar = 70607.8237047917m²