Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62466 / 76813
↖ ↑ ↗
← S 29.566291°
W  8.432007°		 ← 265.65 m → S 29.566291°
W  8.429260°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 29.568679°
W  8.432007°		 ← 265.65 m →
70 559 m²		 S 29.568679°
W  8.429260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476581573486328 y=0.586040496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476581573486328 × 217)
    floor (0.476581573486328 × 131072)
    floor (62466.5)     		tx = 62466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586040496826172 × 217)
    floor (0.586040496826172 × 131072)
    floor (76813.5)     		ty = 76813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62466 / 76813 ti = "17/62466/76813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62466/76813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62466 ÷ 217
    62466 ÷ 131072     		x = 0.476577758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76813 ÷ 217
    76813 ÷ 131072     		y = 0.586036682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.046844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14716628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586036682128906 × 2 - 1) × π
    -0.172073364257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.540584417015373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14716628} λ = -0.14716628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540584417015373))-π/2
    2×atan(0.582407783877105)-π/2
    2×0.527383604846436-π/2
    1.05476720969287-1.57079632675     		φ = -0.51602912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14716628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.432007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51602912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.566291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62466 KachelY 76813 -0.14716628 -0.51602912 -8.432007 -29.566291
    Oben rechts KachelX + 1 62467 KachelY 76813 -0.14711834 -0.51602912 -8.429260 -29.566291
    Unten links KachelX 62466 KachelY + 1 76814 -0.14716628 -0.51607081 -8.432007 -29.568679
    Unten rechts KachelX + 1 62467 KachelY + 1 76814 -0.14711834 -0.51607081 -8.429260 -29.568679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51602912--0.51607081) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51602912--0.51607081) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14716628--0.14711834) × cos(-0.51602912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.869785384065459 × 6371000     		do = 265.65484456951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14716628--0.14711834) × cos(-0.51607081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.869764812203571 × 6371000     		du = 265.64856139337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51602912)-sin(-0.51607081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869785384065459-0.869764812203571)×R²
    abs(-0.14711834--0.14716628)×2.05718618881967e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05718618881967e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05718618881967e-05×40589641000000     		ar = 70558.9492274435m²