Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62465 / 76814
↖ ↑ ↗
← S 29.568679°
W  8.434753°		 ← 265.65 m → S 29.568679°
W  8.432007°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 29.571068°
W  8.434753°		 ← 265.64 m →
70 557 m²		 S 29.571068°
W  8.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476573944091797 y=0.586048126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476573944091797 × 217)
    floor (0.476573944091797 × 131072)
    floor (62465.5)     		tx = 62465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586048126220703 × 217)
    floor (0.586048126220703 × 131072)
    floor (76814.5)     		ty = 76814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62465 / 76814 ti = "17/62465/76814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62465/76814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62465 ÷ 217
    62465 ÷ 131072     		x = 0.476570129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76814 ÷ 217
    76814 ÷ 131072     		y = 0.586044311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476570129394531 × 2 - 1) × π
    -0.0468597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14721422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586044311523438 × 2 - 1) × π
    -0.172088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.540632353914993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14721422} λ = -0.14721422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540632353914993))-π/2
    2×atan(0.582379865722792)-π/2
    2×0.527362757685639-π/2
    1.05472551537128-1.57079632675     		φ = -0.51607081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14721422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.434753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51607081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.568679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62465 KachelY 76814 -0.14721422 -0.51607081 -8.434753 -29.568679
    Oben rechts KachelX + 1 62466 KachelY 76814 -0.14716628 -0.51607081 -8.432007 -29.568679
    Unten links KachelX 62465 KachelY + 1 76815 -0.14721422 -0.51611250 -8.434753 -29.571068
    Unten rechts KachelX + 1 62466 KachelY + 1 76815 -0.14716628 -0.51611250 -8.432007 -29.571068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51607081--0.51611250) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51607081--0.51611250) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14721422--0.14716628) × cos(-0.51607081) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869764812203571 × 6371000     		do = 265.648561393216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14721422--0.14716628) × cos(-0.51611250) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869744238829983 × 6371000     		du = 265.642277755364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51607081)-sin(-0.51611250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869764812203571-0.869744238829983)×R²
    abs(-0.14716628--0.14721422)×2.05733735881841e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05733735881841e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05733735881841e-05×40589641000000     		ar = 70557.2803105843m²