Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62464 / 76815
↖ ↑ ↗
← S 29.571068°
W  8.437500°		 ← 265.64 m → S 29.571068°
W  8.434753°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
S 29.573457°
W  8.437500°		 ← 265.64 m →
70 573 m²		 S 29.573457°
W  8.434753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476566314697266 y=0.586055755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476566314697266 × 217)
    floor (0.476566314697266 × 131072)
    floor (62464.5)     		tx = 62464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586055755615234 × 217)
    floor (0.586055755615234 × 131072)
    floor (76815.5)     		ty = 76815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62464 / 76815 ti = "17/62464/76815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62464/76815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62464 ÷ 217
    62464 ÷ 131072     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76815 ÷ 217
    76815 ÷ 131072     		y = 0.586051940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586051940917969 × 2 - 1) × π
    -0.172103881835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.540680290814613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540680290814613))-π/2
    2×atan(0.582351948906756)-π/2
    2×0.527341911017982-π/2
    1.05468382203596-1.57079632675     		φ = -0.51611250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51611250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.571068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62464 KachelY 76815 -0.14726216 -0.51611250 -8.437500 -29.571068
    Oben rechts KachelX + 1 62465 KachelY 76815 -0.14721422 -0.51611250 -8.434753 -29.571068
    Unten links KachelX 62464 KachelY + 1 76816 -0.14726216 -0.51615420 -8.437500 -29.573457
    Unten rechts KachelX + 1 62465 KachelY + 1 76816 -0.14721422 -0.51615420 -8.434753 -29.573457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51611250--0.51615420) × R
    4.17000000000334e-05 × 6371000     		dl = 265.670700000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51611250--0.51615420) × R
    4.17000000000334e-05 × 6371000     		dr = 265.670700000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14721422) × cos(-0.51611250) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869744238829983 × 6371000     		do = 265.642277755364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14721422) × cos(-0.51615420) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86972365900934 × 6371000     		du = 265.635992148415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51611250)-sin(-0.51615420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869744238829983-0.86972365900934)×R²
    abs(-0.14721422--0.14726216)×2.057982064263e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.057982064263e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.057982064263e-05×40589641000000     		ar = 70572.5349403485m²