Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62463 / 40183
↖ ↑ ↗
← N 56.958455°
W  8.440246°		 ← 166.50 m → N 56.958455°
W  8.437500°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
N 56.956957°
W  8.440246°		 ← 166.50 m →
27 729 m²		 N 56.956957°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476558685302734 y=0.306575775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476558685302734 × 217)
    floor (0.476558685302734 × 131072)
    floor (62463.5)     		tx = 62463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306575775146484 × 217)
    floor (0.306575775146484 × 131072)
    floor (40183.5)     		ty = 40183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62463 / 40183 ti = "17/62463/40183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62463/40183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62463 ÷ 217
    62463 ÷ 131072     		x = 0.476554870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40183 ÷ 217
    40183 ÷ 131072     		y = 0.306571960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476554870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0468902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14731009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306571960449219 × 2 - 1) × π
    0.386856079101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.21534421606728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14731009} λ = -0.14731009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21534421606728))-π/2
    2×atan(3.37145437337707)-π/2
    2×1.28245444914898-π/2
    2.56490889829796-1.57079632675     		φ = 0.99411257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14731009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.440246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99411257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.958455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62463 KachelY 40183 -0.14731009 0.99411257 -8.440246 56.958455
    Oben rechts KachelX + 1 62464 KachelY 40183 -0.14726216 0.99411257 -8.437500 56.958455
    Unten links KachelX 62463 KachelY + 1 40184 -0.14731009 0.99408643 -8.440246 56.956957
    Unten rechts KachelX + 1 62464 KachelY + 1 40184 -0.14726216 0.99408643 -8.437500 56.956957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99411257-0.99408643) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99411257-0.99408643) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14731009--0.14726216) × cos(0.99411257) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54524701486174 × 6371000     		do = 166.497735309627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14731009--0.14726216) × cos(0.99408643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545268927195135 × 6371000     		du = 166.504426504234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99411257)-sin(0.99408643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54524701486174-0.545268927195135)×R²
    abs(-0.14726216--0.14731009)×2.19123333955462e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19123333955462e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19123333955462e-05×40589641000000     		ar = 27728.7470234925m²