Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62463 / 27843
↖ ↑ ↗
← N 71.354432°
W  8.440246°		 ← 97.63 m → N 71.354432°
W  8.437500°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 71.353554°
W  8.440246°		 ← 97.63 m →
9 535 m²		 N 71.353554°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476558685302734 y=0.212429046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476558685302734 × 217)
    floor (0.476558685302734 × 131072)
    floor (62463.5)     		tx = 62463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212429046630859 × 217)
    floor (0.212429046630859 × 131072)
    floor (27843.5)     		ty = 27843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62463 / 27843 ti = "17/62463/27843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62463/27843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62463 ÷ 217
    62463 ÷ 131072     		x = 0.476554870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27843 ÷ 217
    27843 ÷ 131072     		y = 0.212425231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476554870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0468902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14731009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212425231933594 × 2 - 1) × π
    0.575149536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.80688555737878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14731009} λ = -0.14731009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80688555737878))-π/2
    2×atan(6.09144639848637)-π/2
    2×1.40808305381019-π/2
    2.81616610762038-1.57079632675     		φ = 1.24536978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14731009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.440246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24536978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.354432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62463 KachelY 27843 -0.14731009 1.24536978 -8.440246 71.354432
    Oben rechts KachelX + 1 62464 KachelY 27843 -0.14726216 1.24536978 -8.437500 71.354432
    Unten links KachelX 62463 KachelY + 1 27844 -0.14731009 1.24535445 -8.440246 71.353554
    Unten rechts KachelX + 1 62464 KachelY + 1 27844 -0.14726216 1.24535445 -8.437500 71.353554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24536978-1.24535445) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24536978-1.24535445) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14731009--0.14726216) × cos(1.24536978) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.319712974176911 × 6371000     		do = 97.6282028120024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14731009--0.14726216) × cos(1.24535445) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.319727499535709 × 6371000     		du = 97.6326383050515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24536978)-sin(1.24535445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319712974176911-0.319727499535709)×R²
    abs(-0.14726216--0.14731009)×1.45253587981453e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.45253587981453e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.45253587981453e-05×40589641000000     		ar = 9535.31226594716m²