Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62462 / 34678
↖ ↑ ↗
← N 64.332771°
W  8.442993°		 ← 132.29 m → N 64.332771°
W  8.440246°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
N 64.331581°
W  8.442993°		 ← 132.30 m →
17 506 m²		 N 64.331581°
W  8.440246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476551055908203 y=0.264575958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476551055908203 × 217)
    floor (0.476551055908203 × 131072)
    floor (62462.5)     		tx = 62462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264575958251953 × 217)
    floor (0.264575958251953 × 131072)
    floor (34678.5)     		ty = 34678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62462 / 34678 ti = "17/62462/34678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62462/34678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62462 ÷ 217
    62462 ÷ 131072     		x = 0.476547241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34678 ÷ 217
    34678 ÷ 131072     		y = 0.264572143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476547241210938 × 2 - 1) × π
    -0.046905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14735803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264572143554688 × 2 - 1) × π
    0.470855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47923684847569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14735803} λ = -0.14735803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47923684847569))-π/2
    2×atan(4.38959447662714)-π/2
    2×1.34680749704461-π/2
    2.69361499408922-1.57079632675     		φ = 1.12281867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14735803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.442993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12281867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.332771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62462 KachelY 34678 -0.14735803 1.12281867 -8.442993 64.332771
    Oben rechts KachelX + 1 62463 KachelY 34678 -0.14731009 1.12281867 -8.440246 64.332771
    Unten links KachelX 62462 KachelY + 1 34679 -0.14735803 1.12279790 -8.442993 64.331581
    Unten rechts KachelX + 1 62463 KachelY + 1 34679 -0.14731009 1.12279790 -8.440246 64.331581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12281867-1.12279790) × R
    2.07700000001143e-05 × 6371000     		dl = 132.325670000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12281867-1.12279790) × R
    2.07700000001143e-05 × 6371000     		dr = 132.325670000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14735803--0.14731009) × cos(1.12281867) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433143632797132 × 6371000     		do = 132.293214573342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14735803--0.14731009) × cos(1.12279790) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433162353222084 × 6371000     		du = 132.298932272986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12281867)-sin(1.12279790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433143632797132-0.433162353222084)×R²
    abs(-0.14731009--0.14735803)×1.87204249517126e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87204249517126e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87204249517126e-05×40589641000000     		ar = 17506.1665548056m²