Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62461 / 76795
↖ ↑ ↗
← S 29.523280°
W  8.445740°		 ← 265.77 m → S 29.523280°
W  8.442993°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.525670°
W  8.445740°		 ← 265.76 m →
70 623 m²		 S 29.525670°
W  8.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476543426513672 y=0.585903167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476543426513672 × 217)
    floor (0.476543426513672 × 131072)
    floor (62461.5)     		tx = 62461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585903167724609 × 217)
    floor (0.585903167724609 × 131072)
    floor (76795.5)     		ty = 76795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62461 / 76795 ti = "17/62461/76795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62461/76795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62461 ÷ 217
    62461 ÷ 131072     		x = 0.476539611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76795 ÷ 217
    76795 ÷ 131072     		y = 0.585899353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476539611816406 × 2 - 1) × π
    -0.0469207763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14740597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585899353027344 × 2 - 1) × π
    -0.171798706054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.539721552822212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14740597} λ = -0.14740597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539721552822212))-π/2
    2×atan(0.582910539573382)-π/2
    2×0.52775893803951-π/2
    1.05551787607902-1.57079632675     		φ = -0.51527845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14740597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.445740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51527845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.523280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62461 KachelY 76795 -0.14740597 -0.51527845 -8.445740 -29.523280
    Oben rechts KachelX + 1 62462 KachelY 76795 -0.14735803 -0.51527845 -8.442993 -29.523280
    Unten links KachelX 62461 KachelY + 1 76796 -0.14740597 -0.51532016 -8.445740 -29.525670
    Unten rechts KachelX + 1 62462 KachelY + 1 76796 -0.14735803 -0.51532016 -8.442993 -29.525670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51527845--0.51532016) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51527845--0.51532016) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14740597--0.14735803) × cos(-0.51527845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870155542232311 × 6371000     		do = 265.767900401384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14740597--0.14735803) × cos(-0.51532016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870134987739935 × 6371000     		du = 265.76162253034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51527845)-sin(-0.51532016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870155542232311-0.870134987739935)×R²
    abs(-0.14735803--0.14740597)×2.05544923759238e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05544923759238e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05544923759238e-05×40589641000000     		ar = 70622.8420971383m²