Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6246 / 6770
↖ ↑ ↗
← N 29.802518°
W 42.758789°		 ← 2 120.08 m → N 29.802518°
W 42.736817°		 →
↑
2 120.27 m
↓
↑
2 120.27 m
↓
N 29.783450°
W 42.758789°		 ← 2 120.49 m →
4 495 576 m²		 N 29.783450°
W 42.736817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381256103515625 y=0.413238525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381256103515625 × 214)
    floor (0.381256103515625 × 16384)
    floor (6246.5)     		tx = 6246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413238525390625 × 214)
    floor (0.413238525390625 × 16384)
    floor (6770.5)     		ty = 6770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6246 / 6770 ti = "14/6246/6770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6246/6770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6246 ÷ 214
    6246 ÷ 16384     		x = 0.3812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6770 ÷ 214
    6770 ÷ 16384     		y = 0.4132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74628165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    0.173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.545330170077759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74628165} λ = -0.74628165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545330170077759))-π/2
    2×atan(1.72517789047224)-π/2
    2×1.04547419481076-π/2
    2.09094838962153-1.57079632675     		φ = 0.52015206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74628165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.758789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52015206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.802518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6246 KachelY 6770 -0.74628165 0.52015206 -42.758789 29.802518
    Oben rechts KachelX + 1 6247 KachelY 6770 -0.74589816 0.52015206 -42.736817 29.802518
    Unten links KachelX 6246 KachelY + 1 6771 -0.74628165 0.51981926 -42.758789 29.783450
    Unten rechts KachelX + 1 6247 KachelY + 1 6771 -0.74589816 0.51981926 -42.736817 29.783450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52015206-0.51981926) × R
    0.000332800000000022 × 6371000     		dl = 2120.26880000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52015206-0.51981926) × R
    0.000332800000000022 × 6371000     		dr = 2120.26880000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74628165--0.74589816) × cos(0.52015206) × R
    0.000383490000000042 × 0.867743614051217 × 6371000     		do = 2120.08403177822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74628165--0.74589816) × cos(0.51981926) × R
    0.000383490000000042 × 0.867908971618773 × 6371000     		du = 2120.48803583291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52015206)-sin(0.51981926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867743614051217-0.867908971618773)×R²
    abs(-0.74589816--0.74628165)×0.000165357567555646×R²
    0.000383490000000042×0.000165357567555646×6371000²
    0.000383490000000042×0.000165357567555646×40589641000000     		ar = 4495576.36604632m²